Đăng nhập Đăng ký

ID: 13879

Vận dụng cao (M4)
Có 6 cặp vợ chồng (12 người) được xếp ngồi vào một hàng ngang có 12 ghế. Có bao nhiêu cách xếp sao cho có đúng 2 cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau?

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle S_j$ là số cách xếp sao cho có ít nhất $\displaystyle j$ cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau (coi mỗi cặp này là 1 "khối").
Khi có $\displaystyle j$ cặp ngồi cạnh nhau, ta có $\displaystyle j$ khối và $\displaystyle 12 - 2j$ người lẻ. Tổng cộng có $\displaystyle 12 - j$ phần tử để hoán vị. Chọn $\displaystyle j$ cặp từ 6 cặp có $\displaystyle C_6^j$ cách, mỗi cặp có thể hoán vị 2 người cho nhau ( $\displaystyle 2^j$ cách).
$\displaystyle S_j = C_6^j \cdot (12-j)! \cdot 2^j$
Ta tính các $\displaystyle S_j$ từ $\displaystyle j=2$ đến $\displaystyle j=6$ :
* $\displaystyle S_2 = C_6^2 \cdot 10! \cdot 2^2 = 15 \cdot 3628800 \cdot 4 = 217,728,000$
* $\displaystyle S_3 = C_6^3 \cdot 9! \cdot 2^3 = 20 \cdot 362880 \cdot 8 = 58,060,800$
* $\displaystyle S_4 = C_6^4 \cdot 8! \cdot 2^4 = 15 \cdot 40320 \cdot 16 = 9,676,800$
* $\displaystyle S_5 = C_6^5 \cdot 7! \cdot 2^5 = 6 \cdot 5040 \cdot 32 = 967,680$
* $\displaystyle S_6 = C_6^6 \cdot 6! \cdot 2^6 = 1 \cdot 720 \cdot 64 = 46,080$
Gọi $\displaystyle E_2$ là số cách xếp có đúng 2 cặp ngồi cạnh nhau. Áp dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ:
$\displaystyle E_2 = C_2^2 \cdot S_2 - C_3^2 \cdot S_3 + C_4^2 \cdot S_4 - C_5^2 \cdot S_5 + C_6^2 \cdot S_6$
$\displaystyle E_2 = S_2 - 3S_3 + 6S_4 - 10S_5 + 15S_6$
$\displaystyle E_2 = 217728000 - 3(58060800) + 6(9676800) - 10(967680) + 15(46080) = 92620800$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi