Đăng nhập Đăng ký

ID: 13883

Vận dụng cao (M4)
Từ các chữ số $\displaystyle \{\{}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6{\}\}$ , lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 2 xuất hiện đúng 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần và không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau?

`1`
Giải thích đáp án:
Ta dùng các chữ số: 1, 1, 1, 2, 2 và 3 chữ số phân biệt $\displaystyle \{a, b, c\}$ lấy từ $\displaystyle \{0, 3, 4, 5, 6\}$ .
Tạm thời bỏ qua quy tắc số 0 đứng đầu.
Xếp 2 số 2 và 3 số a,b,c: Có $\displaystyle \frac{5!}{2!} = 60$ cách.
Tạo ra 6 khoảng trống. Để các số 1 không cạnh nhau, chọn 3 trong 6 khoảng trống để chèn số 1: $\displaystyle C_6^3 = 20$ cách $\displaystyle \Rightarrow 60 \times 20 = 1200$ cách.
Trừ đi trường hợp hai số 2 cạnh nhau: Coi "22" là 1 khối. Xếp "22" và a,b,c có $\displaystyle 4! = 24$ cách. Chèn 3 số 1 vào 5 khoảng trống có $\displaystyle C_5^3 = 10$ cách $\displaystyle \Rightarrow 24 \times 10 = 240$ cách.
Số cấu hình hợp lệ chung cho 1 tập chọn {a,b,c} là: $\displaystyle 1200 - 240 = 960$ .
* TH1: Không chọn số 0. Chọn 3 số từ $\displaystyle \{3,4,5,6\}$ có $\displaystyle C_4^3 = 4$ cách.
$\displaystyle \Rightarrow 4 \times 960 = 3840$ số.
* TH2: Có chọn số 0. Chọn 2 số từ $\displaystyle \{3,4,5,6\}$ có $\displaystyle C_4^2 = 6$ cách.
Ta phải trừ đi các trường hợp số 0 đứng đầu. Nếu 0 đứng đầu, phần còn lại là cấu hình của $\displaystyle \{1,1,1,2,2,a,b\}$ sao cho không lặp cạnh nhau.
Xếp $\displaystyle \{2,2,a,b\}$ có $\displaystyle \frac{4!}{2!} = 12$ cách, chèn số 1 có $\displaystyle C_5^3 = 10$ cách $\displaystyle \Rightarrow 120$ . Trừ khối "22": xếp $\displaystyle \{"22", a, b\}$ có $\displaystyle 3! = 6$ cách, chèn 1 có $\displaystyle C_4^3 = 4$ cách $\displaystyle \Rightarrow 24$ .
Số trường hợp 0 đứng đầu là $\displaystyle 120 - 24 = 96$ .
$\displaystyle \Rightarrow 6 \times (960 - 96) = 5184$ số.
Tổng số: $\displaystyle 3840 + 5184 = 9024$ số.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi