Đăng nhập Đăng ký

ID: 14079

Vận dụng cao (M4)
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 15 và chữ số hàng nghìn luôn lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

`1`
Giải thích đáp án:
Số có 4 chữ số khác nhau $\displaystyle \overline{abcd} \ \vdots \ 15 \implies$ chia hết cho 5 ( $\displaystyle d \in \{0, 5\}$ ) và chia hết cho 3. Yêu cầu $\displaystyle a > d$ .
* Trường hợp 1: $\displaystyle d = 0$ (Vì $\displaystyle a > 0$ nên mọi $\displaystyle a$ tự nhiên đều thỏa mãn).
Ta cần chọn $\displaystyle a, b, c$ từ $\displaystyle \{1..9\}$ sao cho tổng chia hết cho 3.
Chia tập $\displaystyle \{1..9\}$ thành 3 nhóm: $\displaystyle M_0 = \{3,6,9\}, M_1 = \{1,4,7\}, M_2 = \{2,5,8\}$ .
* Chọn 3 số cùng 1 nhóm: $\displaystyle C_3^3 \times 3! = 6$ . Có 3 nhóm $\displaystyle \implies 3 \times 6 = 18$ cách.
* Chọn mỗi nhóm 1 số: $\displaystyle (C_3^1 \times C_3^1 \times C_3^1) \times 3! = 27 \times 6 = 162$ cách.
$\displaystyle \implies$ TH1 có $\displaystyle 18 + 162 = 180$ (số).
* Trường hợp 2: $\displaystyle d = 5$ . Điều kiện $\displaystyle a > d \implies a \in \{6, 7, 8, 9\}$ . Ta có $\displaystyle \overline{abc5}$ , tổng $\displaystyle a+b+c+5 \equiv 0 \pmod 3 \implies a+b+c \equiv 1 \pmod 3$ . Các số $\displaystyle b, c$ lấy từ tập $\displaystyle S = \{0,1,2,3,4,6,7,8,9\}$ .
* Nếu $\displaystyle a=6$ : Cần $\displaystyle b+c \equiv 1$ . Lấy từ $\displaystyle S \setminus \{6\}$ .
Lấy 1 từ $\displaystyle M_0=\{0,3,9\}$ , 1 từ $\displaystyle M_1=\{1,4,7\} \implies 3 \times 3 \times 2! = 18$ .
Lấy 2 từ $\displaystyle M_2=\{2,8\} \implies A_2^2 = 2$ .
Tổng cho $\displaystyle a=6$ là 20.
* Nếu $\displaystyle a=7$ : Cần $\displaystyle b+c \equiv 0$ . Lấy từ $\displaystyle S \setminus \{7\}$ .
Lấy 2 từ $\displaystyle M_0=\{0,3,6,9\} \implies A_4^2 = 12$ .
Lấy 1 từ $\displaystyle M_1=\{1,4\}$ , 1 từ $\displaystyle M_2=\{2,8\} \implies 2 \times 2 \times 2! = 8$ .
Tổng cho $\displaystyle a=7$ là 20.
* Nếu $\displaystyle a=8$ : Cần $\displaystyle b+c \equiv 2$ . Lấy từ $\displaystyle S \setminus \{8\}$ .
Lấy 2 từ $\displaystyle M_1=\{1,4,7\} \implies A_3^2 = 6$ .
Lấy 1 từ $\displaystyle M_0=\{0,3,6,9\}$ , 1 từ $\displaystyle M_2=\{2\} \implies 4 \times 1 \times 2! = 8$ .
Tổng cho $\displaystyle a=8$ là 14.
* Nếu $\displaystyle a=9$ : Cần $\displaystyle b+c \equiv 1$ . Lấy từ $\displaystyle S \setminus \{9\}$ .
Lấy 1 từ $\displaystyle M_0=\{0,3,6\}$ , 1 từ $\displaystyle M_1=\{1,4,7\} \implies 3 \times 3 \times 2! = 18$ .
Lấy 2 từ $\displaystyle M_2=\{2,8\} \implies A_2^2 = 2$ .
Tổng cho $\displaystyle a=9$ là 20.
$\displaystyle \implies$ TH2 có $\displaystyle 20 + 20 + 14 + 20 = 74$ (số).
* Tổng cộng: $\displaystyle 180 + 74 = 254$ (số).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi