Đăng nhập Đăng ký

ID: 14290

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị $\displaystyle \left(C\right)$ và $\displaystyle I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử
$\displaystyle M \left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là điểm trên đồ thị $\displaystyle \left(C\right)$ có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại $\displaystyle M$ với $\displaystyle \left(C\right)$ cắt
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A, B thỏa mãn $\displaystyle I A^{2} + I B^{2} = 40$ . Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle P = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + x_{0} y_{0}$ ?

`1`
Giải thích đáp án:
Đồ thị $\displaystyle \left(C\right) : y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có tiệm cận đứng $\displaystyle x = - 1$ và tiệm cận ngang $\displaystyle y = 2$ nên $\displaystyle I \left(- 1 ; 2\right)$ .
Vì $\displaystyle M \in \left(C\right)$ nên $\displaystyle M \left(x_{0} ; \frac{2 x_{0} - 1}{x_{0} + 1}\right) , \left(x_{0} > 0\right)$
Phương trình tiếp tuyến với $\displaystyle \left(C\right)$ tại $\displaystyle M$ là $\displaystyle y = \frac{3}{\left(x_{0} + 1\right)^{2}} \left(x - x_{0}\right) + \frac{2 x_{0} - 1}{x_{0} + 1}$ .
$\displaystyle \Rightarrow A \left(- 1 ; \frac{2 x_{0} - 4}{x_{0} + 1}\right) , B \left(2 x_{0} + 1 ; 2\right)$
Ta có $\displaystyle I A = \left|\frac{6}{x_{0} + 1}\right|$ và $\displaystyle I B = 2 \left|x_{0} + 1\right|$ .
Khi đó $\displaystyle I A^{2} + I B^{2} = 40 \Leftrightarrow \frac{36}{\left(x_{0} + 1\right)^{2}} + 4 \left(x_{0} + 1\right)^{2} = 40 , x_{0} > 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left(x_{0} + 1\right)^{4} - 10 \left(x_{0} + 1\right)^{2} + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left(x_{0} + 1\right)^{2} = 1 \\ \left(x_{0} + 1\right)^{2} = 9 \end{matrix}\right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x_{0} = 0 \left(\right. l \left.\right) \\ x_{0} = - 2 \left(\right. l \left.\right) \\ x_{0} = 2 \left(\right. n \left.\right) \\ x_{0} = - 4 \left(\right. l \left.\right) \end{matrix}\right. \rightarrow x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 1$ . Suy ra $\displaystyle M \left(2 ; 1\right)$ . Giá trị của biểu thức $\displaystyle P = 7 .$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi