Đăng nhập Đăng ký

ID: 14648

Vận dụng cao (M4)
Tính tổng $\displaystyle S = \frac{1}{2}C_n^0 + \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 + \cdots + \frac{1}{n+2}C_n^n$ .

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Cấu trúc mẫu số dạng $\displaystyle k+2$ gợi ý việc nhân với $\displaystyle x$ và tích phân.
Xét $\displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k$ .
Nhân 2 vế với $\displaystyle x$ : $\displaystyle x(1+x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^{k+1}$ .
Lấy tích phân hai vế từ $\displaystyle 0$ đến $\displaystyle 1$ :
$\displaystyle \int_0^1 x(1+x)^n dx = \sum_{k=0}^n C_n^k \int_0^1 x^{k+1} dx = \sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+2} x^{k+2} \Big|_0^1 = \sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+2} = S$
Để tính tích phân vế trái $\displaystyle I = \int_0^1 x(1+x)^n dx$ , đặt $\displaystyle t = x+1 \Rightarrow x = t-1, dx = dt$ . Cận đổi từ $\displaystyle [1, 2]$ .
$\displaystyle I = \int_1^2 (t-1)t^n dt = \int_1^2 (t^{n+1} - t^n) dt = \left[ \frac{t^{n+2}}{n+2} - \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_1^2$
Thay số và quy đồng rút gọn, ta có:
$\displaystyle S = \frac{n \cdot 2^{n+1} + 1}{(n+1)(n+2)}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi