Đăng nhập Đăng ký

ID: 14649

Vận dụng cao (M4)
Cho số nguyên dương $\displaystyle n$ . Tính tổng $\displaystyle S = (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + (C_n^2)^2 + \cdots + (C_n^n)^2$ .

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Sử dụng đồng nhất thức (Vandermonde).
Xét đẳng thức: $\displaystyle (1+x)^{2n} = (1+x)^n \cdot (1+x)^n$ .
- Hệ số của $\displaystyle x^n$ trong khai triển vế trái $\displaystyle (1+x)^{2n}$ là $\displaystyle C_{2n}^n$ .
- Khai triển vế phải: $\displaystyle \left( \sum_{i=0}^n C_n^i x^i \right) \left( \sum_{j=0}^n C_n^j x^j \right)$ .
Hệ số của $\displaystyle x^n$ ở vế phải xảy ra khi $\displaystyle i + j = n \Rightarrow j = n - i$ .
Hệ số này là: $\displaystyle \sum_{i=0}^n C_n^i \cdot C_n^{n-i}$ .
Do tính chất đối xứng $\displaystyle C_n^{n-i} = C_n^i$ , tổng này trở thành $\displaystyle \sum_{i=0}^n (C_n^i)^2 = (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + ... + (C_n^n)^2 = S$ .
Đồng nhất hệ số hai vế, ta suy ra: $\displaystyle S = C_{2n}^n$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi