Đăng nhập Đăng ký

ID: 14652

Vận dụng (M3)
Tính tổng $\displaystyle S = \sum_{k=1}^n k^2 C_n^k$ .

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Xét $\displaystyle f(x) = (1+x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k x^k$ .
$\displaystyle f'(x) = n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k C_n^k x^{k-1}$ .
Nhân cả hai vế với $\displaystyle x$ : $\displaystyle x \cdot f'(x) = n \cdot x(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k C_n^k x^k$ .
Đạo hàm lần nữa theo $\displaystyle x$ :
$\displaystyle [n \cdot x(1+x)^{n-1}]' = n(1+x)^{n-1} + n(n-1)x(1+x)^{n-2} = \sum_{k=1}^n k^2 C_n^k x^{k-1}$ .
Thay $\displaystyle x = 1$ vào phương trình cuối cùng:
$\displaystyle n \cdot 2^{n-1} + n(n-1) \cdot 2^{n-2} = \sum_{k=1}^n k^2 C_n^k = S$ .
Gộp nhân tử chung $\displaystyle n \cdot 2^{n-2}$ : $\displaystyle S = n \cdot 2^{n-2}(2 + n - 1) = n(n+1)2^{n-2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi