Đăng nhập Đăng ký

ID: 14660

Vận dụng cao (M4)
Tìm phần nguyên của số $\displaystyle X = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2026}$ .

Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle Y = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026}$ . Nhận thấy $\displaystyle 0 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1$ nên $\displaystyle 0 < Y < 1$ .
Xét tổng $\displaystyle X + Y = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2026} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026}$ .
Khai triển nhị thức, các số hạng chứa lũy thừa lẻ của $\displaystyle \sqrt{2}$ sẽ triệt tiêu nhau, các số hạng chứa lũy thừa chẵn được nhân đôi và là số nguyên.
Vậy $\displaystyle X + Y = 2k$ ( $\displaystyle k \in \mathbb{Z}^+$ ).
Ta có $\displaystyle X = 2k - Y$ . Vì $\displaystyle 0 < Y < 1$ nên $\displaystyle 2k-1 < X < 2k$ .
Phần nguyên của $\displaystyle X$ sẽ bằng $\displaystyle 2k - 1$ .
Mặt khác $\displaystyle 2k = X + Y$ , nên phần nguyên của $\displaystyle X$ là: $\displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2026} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2026} - 1$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi