Đăng nhập Đăng ký

ID: 14663

Vận dụng (M3)
Cho khai triển $\displaystyle (1 + 2x)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ . Biết rằng $\displaystyle a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots + \frac{a_n}{2^n} = 4096$ . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số $\displaystyle \{a_0, a_1, \dots, a_n\}$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Hệ số $\displaystyle a_k = C_n^k 2^k$ .
Theo đề, tổng đã cho chính là tổng các $\displaystyle C_n^k$ : $\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{C_n^k 2^k}{2^k} = \sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$ .
Suy ra $\displaystyle 2^n = 4096 \Rightarrow n = 12$ .
Cần tìm hệ số lớn nhất $\displaystyle a_k = C_{12}^k 2^k$ . Giả sử $\displaystyle a_k$ là hệ số lớn nhất, ta có:
$\displaystyle \begin{cases} a_k \ge a_{k+1} \\ a_k \ge a_{k-1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C_{12}^k 2^k \ge C_{12}^{k+1} 2^{k+1} \\ C_{12}^k 2^k \ge C_{12}^{k-1} 2^{k-1} \end{cases}$
Giải hệ bất phương trình này trên tập số tự nhiên, ta được khoảng của $\displaystyle k$ : $\displaystyle \frac{23}{3} \le k \le \frac{26}{3}$ .
Vì $\displaystyle k$ nguyên nên $\displaystyle k = 8$ . Hệ số lớn nhất là $\displaystyle a_8 = C_{12}^8 2^8 = 495 \cdot 256 = 126720$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi