Đăng nhập Đăng ký

ID: 14665

Vận dụng (M3)
Tìm hệ số của $\displaystyle x^7$ trong khai triển $\displaystyle (1 + x + x^2 + x^3)^{10}$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử:
$\displaystyle 1 + x + x^2 + x^3 = (1+x) + x^2(1+x) = (1+x)(1+x^2)$
Do đó, biểu thức được viết lại thành:
$\displaystyle (1 + x + x^2 + x^3)^{10} = (1+x)^{10}(1+x^2)^{10}$
Khai triển hai nhị thức:
* $\displaystyle (1+x)^{10} = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^k$
* $\displaystyle (1+x^2)^{10} = \sum_{j=0}^{10} C_{10}^j x^{2j}$
Khi nhân hai khai triển này lại, số hạng tổng quát có dạng $\displaystyle C_{10}^k \cdot C_{10}^j x^{k+2j}$ .
Để tìm hệ số của $\displaystyle x^7$ , ta cần giải phương trình $\displaystyle k + 2j = 7$ với $\displaystyle k, j \in \mathbb{N}$ và $\displaystyle 0 \le k, j \le 10$ .
Các cặp $\displaystyle (j, k)$ thỏa mãn là:
* $\displaystyle j = 0 \Rightarrow k = 7$ : Hệ số là $\displaystyle C_{10}^0 \cdot C_{10}^7 = 1 \cdot 120 = 120$
* $\displaystyle j = 1 \Rightarrow k = 5$ : Hệ số là $\displaystyle C_{10}^1 \cdot C_{10}^5 = 10 \cdot 252 = 2520$
* $\displaystyle j = 2 \Rightarrow k = 3$ : Hệ số là $\displaystyle C_{10}^2 \cdot C_{10}^3 = 45 \cdot 120 = 5400$
* $\displaystyle j = 3 \Rightarrow k = 1$ : Hệ số là $\displaystyle C_{10}^3 \cdot C_{10}^1 = 120 \cdot 10 = 1200$
Tổng hệ số của $\displaystyle x^7$ là: $\displaystyle 120 + 2520 + 5400 + 1200 = 9240$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi