Đăng nhập Đăng ký

ID: 14667

Vận dụng cao (M4)
Tìm hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong khai triển biểu thức sau: $\displaystyle P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)^2 + 3(1 + x)^3 + \cdots + 20(1 + x)^{20}$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong một số hạng tổng quát $\displaystyle k(1+x)^k$ là $\displaystyle k \cdot C_k^{10}$ (với $\displaystyle k \ge 10$ ).
Do đó, tổng hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong $\displaystyle P(x)$ là $\displaystyle S = \sum_{k=10}^{20} k \cdot C_k^{10}$ .
Ta sử dụng phép biến đổi tổ hợp:
$\displaystyle k \cdot C_k^{10} = k \cdot \frac{k!}{10!(k-10)!} = 11 \cdot \frac{k!}{11!(k-11)!} + 10 \cdot \frac{k!}{10!(k-10)!} = 11C_k^{11} + 10C_k^{10}$ .
Áp dụng vào tổng $\displaystyle S$ :
$\displaystyle S = \sum_{k=10}^{20} (11C_k^{11} + 10C_k^{10}) = 11 \sum_{k=11}^{20} C_k^{11} + 10 \sum_{k=10}^{20} C_k^{10}$
Sử dụng công thức cộng dồn $\displaystyle \sum_{i=m}^n C_i^m = C_{n+1}^{m+1}$ , ta có:
$\displaystyle S = 11 \cdot C_{21}^{12} + 10 \cdot C_{21}^{11}$ .
Bấm máy tính: $\displaystyle C_{21}^{12} = 293930$ và $\displaystyle C_{21}^{11} = 352716$ .
$\displaystyle S = 11 \cdot 293930 + 10 \cdot 352716 = 3233230 + 3527160 = 6760390$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi