Đăng nhập Đăng ký

ID: 14668

Vận dụng (M3)
(M3): Cho biểu thức $\displaystyle P(x) = (1 + x + x^2 + \cdots + x^{10})^{11}$ . Tìm hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong khai triển rút gọn của $\displaystyle P(x)$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Sử dụng công thức tổng cấp số nhân, biểu thức bên trong là $\displaystyle \frac{1-x^{11}}{1-x}$ .
$\displaystyle P(x) = \left(\frac{1-x^{11}}{1-x}\right)^{11} = (1-x^{11})^{11} \cdot (1-x)^{-11}$ .
* $\displaystyle (1-x^{11})^{11} = 1 - 11x^{11} + \dots$ (Vì ta chỉ cần tìm hệ số $\displaystyle x^{10}$ nên chỉ quan tâm đến hằng số $\displaystyle 1$ ở cụm này).
* Theo khai triển nhị thức Newton suy rộng, ta có: $\displaystyle (1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} C_{n+k-1}^k x^k$ .
Hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong đa thức ban đầu sẽ bằng hệ số của $\displaystyle x^{10}$ trong khai triển $\displaystyle (1-x)^{-11}$ .
Áp dụng công thức với $\displaystyle n=11, k=10$ : Hệ số là $\displaystyle C_{11+10-1}^{10} = C_{20}^{10} = 184756$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi