Đăng nhập Đăng ký

ID: 14669

Vận dụng cao (M4)
(M4): Tìm hệ số của số hạng chứa $\displaystyle x^{15}$ trong khai triển của $\displaystyle (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^{10}$ .

`1`
Giải thích đáp án:
$\displaystyle 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = \frac{1-x^5}{1-x}$ .
$\displaystyle P(x) = (1-x^5)^{10} \cdot (1-x)^{-10}$ .
* Khai triển cụm thứ nhất: $\displaystyle (1-x^5)^{10} = 1 - 10x^5 + 45x^{10} - 120x^{15} + \dots$
* Khai triển cụm thứ hai: $\displaystyle (1-x)^{-10} = \sum_{k=0}^{\infty} C_{k+9}^k x^k$ .
Ta ghép các bậc của $\displaystyle x$ sao cho tổng số mũ bằng 15:
* $\displaystyle 1$ nhân với $\displaystyle x^{15}$ từ cụm hai: $\displaystyle 1 \cdot C_{15+9}^{15} = C_{24}^{15} = 1307504$ .
* $\displaystyle -10x^5$ nhân với $\displaystyle x^{10}$ từ cụm hai: $\displaystyle -10 \cdot C_{10+9}^{10} = -10 \cdot C_{19}^{10} = -923780$ .
* $\displaystyle 45x^{10}$ nhân với $\displaystyle x^5$ từ cụm hai: $\displaystyle 45 \cdot C_{5+9}^5 = 45 \cdot C_{14}^5 = 45 \cdot 2002 = 90090$ .
* $\displaystyle -120x^{15}$ nhân với $\displaystyle x^0$ từ cụm hai: $\displaystyle -120 \cdot C_9^0 = -120$ .
Tổng hệ số của $\displaystyle x^{15}$ : $\displaystyle 1307504 - 923780 + 90090 - 120 = 473694$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi