Đăng nhập Đăng ký

ID: 14671

Vận dụng cao (M4)
(M4): Gọi $\displaystyle a_{3k}$ là hệ số của $\displaystyle x^{3k}$ trong khai triển đa thức $\displaystyle P(x) = (1 + x + x^2)^{2026}$ . Tính tổng $\displaystyle S = a_0 + a_3 + a_6 + \cdots + a_{4050}$ .

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle \omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ là nghiệm phức của phương trình $\displaystyle x^3 - 1 = 0$ .
Ta có các tính chất: $\displaystyle \omega^3 = 1$ và $\displaystyle 1 + \omega + \omega^2 = 0$ .
Tổng của các hệ số có chỉ số chia hết cho 3 được tính bằng công thức:
$\displaystyle S = \frac{P(1) + P(\omega) + P(\omega^2)}{3}$
Tính từng giá trị:
* $\displaystyle P(1) = (1+1+1)^{2026} = 3^{2026}$ .
* $\displaystyle P(\omega) = (1+\omega+\omega^2)^{2026} = 0^{2026} = 0$ .
* $\displaystyle P(\omega^2) = (1+\omega^2+\omega^4)^{2026} = (1+\omega^2+\omega)^{2026} = 0$ .
Vậy $\displaystyle S = \frac{3^{2026} + 0 + 0}{3} = 3^{2025}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi