Đăng nhập Đăng ký

ID: 14673

Vận dụng (M3)
Tìm hệ số của $\displaystyle x^8$ trong khai triển đa thức $\displaystyle P(x) = (1 + 2x - x^2)^{10}$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Khai triển theo nhị thức: $\displaystyle P(x) = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k (2x - x^2)^k = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^k (2 - x)^k$ .
Lại khai triển nhị thức cho $\displaystyle (2-x)^k$ : $\displaystyle (2-x)^k = \sum_{j=0}^k C_k^j 2^{k-j} (-x)^j$ .
Thay vào, số hạng tổng quát là: $\displaystyle C_{10}^k \cdot C_k^j \cdot 2^{k-j} \cdot (-1)^j \cdot x^{k+j}$ với điều kiện $\displaystyle 0 \le j \le k \le 10$ .
Ta cần $\displaystyle k + j = 8$ . Lập bảng xét các trường hợp:
* $\displaystyle k=4, j=4$ : Hệ số $\displaystyle C_{10}^4 \cdot C_4^4 \cdot 2^0 \cdot (-1)^4 = 210 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 210$ .
* $\displaystyle k=5, j=3$ : Hệ số $\displaystyle C_{10}^5 \cdot C_5^3 \cdot 2^2 \cdot (-1)^3 = 252 \cdot 10 \cdot 4 \cdot (-1) = -10080$ .
* $\displaystyle k=6, j=2$ : Hệ số $\displaystyle C_{10}^6 \cdot C_6^2 \cdot 2^4 \cdot (-1)^2 = 210 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 1 = 50400$ .
* $\displaystyle k=7, j=1$ : Hệ số $\displaystyle C_{10}^7 \cdot C_7^1 \cdot 2^6 \cdot (-1)^1 = 120 \cdot 7 \cdot 64 \cdot (-1) = -53760$ .
* $\displaystyle k=8, j=0$ : Hệ số $\displaystyle C_{10}^8 \cdot C_8^0 \cdot 2^8 \cdot (-1)^0 = 45 \cdot 1 \cdot 256 \cdot 1 = 11520$ .
Tổng tất cả lại: $\displaystyle 210 - 10080 + 50400 - 53760 + 11520 = 8290$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi