Đăng nhập Đăng ký

ID: 14674

Vận dụng (M3)
Tính giá trị của tổng: $\displaystyle S = \frac{C_n^1}{2} + \frac{2C_n^2}{3} + \frac{3C_n^3}{4} + \cdots + \frac{nC_n^n}{n+1}$

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Xét số hạng tổng quát: $\displaystyle \frac{k \cdot C_n^k}{k+1}$ .
Ta biến đổi: $\displaystyle \frac{k \cdot C_n^k}{k+1} = \frac{(k+1-1)C_n^k}{k+1} = C_n^k - \frac{C_n^k}{k+1}$ .
Sử dụng tính chất $\displaystyle \frac{C_n^k}{k+1} = \frac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}$ , ta có thể tách $\displaystyle S$ thành 2 tổng:
$\displaystyle S = \sum_{k=1}^n C_n^k - \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1}$
* Tổng thứ nhất: $\displaystyle \sum_{k=1}^n C_n^k = 2^n - 1$ .
* Tổng thứ hai: $\displaystyle \sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1} = C_{n+1}^2 + C_{n+1}^3 + \dots + C_{n+1}^{n+1} = 2^{n+1} - C_{n+1}^0 - C_{n+1}^1 = 2^{n+1} - 1 - (n+1) = 2^{n+1} - n - 2$ .
Thay vào $\displaystyle S$ :
$\displaystyle S = (2^n - 1) - \frac{2^{n+1} - n - 2}{n+1} = \frac{(n+1)2^n - n - 1 - 2 \cdot 2^n + n + 2}{n+1} = \frac{(n-1)2^n + 1}{n+1}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi