Đăng nhập Đăng ký

ID: 14675

Thông hiểu (M2)
Tính tổng $\displaystyle S = \sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{1}{k+1} C_n^k$ . [ $\displaystyle \frac{1}{n+1}$ ]

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
Sử dụng tích phân. Xét khai triển nhị thức $\displaystyle (1-x)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k x^k$ .
Tích phân hai vế từ $\displaystyle 0$ đến $\displaystyle 1$ :
$\displaystyle \int_0^1 (1-x)^n dx = \int_0^1 \left(\sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k x^k \right) dx$
Vế trái: $\displaystyle \int_0^1 (1-x)^n dx = \left[ -\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1}$ .
Vế phải: $\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k \int_0^1 x^k dx = \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^k \frac{1}{k+1} = S$ .
Vậy $\displaystyle S = \frac{1}{n+1}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi