Vận dụng (M3)

Cho một đa giác đều có 20 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm . Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 20 đỉnh của đa giác đó.

Số phần tử của không gian mẫu là:

Số cách chọn 3 đỉnh để tạo thành một tam giác vuông là:

Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác cân (không đều) là:

1140

90

60

190

180

Giải thích đáp án:

1. Số phần tử của không gian mẫu :

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 20 đỉnh: .

Đáp án điền: 1140

2. Số cách chọn 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông:

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm O (mỗi đường chéo này là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp).

Để tạo thành tam giác vuông, 1 cạnh của tam giác phải là đường kính.

Có 10 cách chọn đường kính. Với mỗi đường kính, chọn 1 đỉnh trong 18 đỉnh còn lại làm góc vuông.

Số tam giác vuông: .

Đáp án điền: 180

3. Xác suất để 3 đỉnh tạo thành tam giác cân (không đều):

Kiểm tra tam giác đều: Đa giác 20 đỉnh không thể chia đều thành 3 phần ( không chia hết cho ), do đó không có tam giác đều nào.

Đếm tam giác cân: Mỗi đỉnh trong 20 đỉnh đóng vai trò là đỉnh của một tam giác cân. Với một đỉnh bất kỳ, có 1 trục đối xứng đi qua nó và tâm O. Trục đối xứng này chia 18 đỉnh còn lại thành 9 cặp đối xứng nhau. Mỗi cặp kết hợp với đỉnh ban đầu tạo thành 1 tam giác cân.

Vậy mỗi đỉnh tạo được 9 tam giác cân. Tổng số tam giác cân là: .

Xác suất: .

Đáp án điền: 3/19