Vận dụng cao (M4)

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có 2 học sinh cùng lớp nào đứng cạnh nhau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) là .

1

Xác nhận

Giải thích đáp án:

Không gian mẫu: Xếp 10 học sinh có cách.

Phân tích: Do số học sinh lớp C bằng đúng tổng số học sinh hai lớp còn lại (5 = 2 + 3), nên để các học sinh lớp C không kề nhau, chúng phải đóng vai trò như các "vách ngăn" cố định, chia đội hình ra.

Xếp 5 bạn C tạo thành một hàng có cách. 5 bạn C tạo ra 6 khoảng trống:

_ C C C C C _

Xếp 5 bạn còn lại (2A, 3B) vào 6 khoảng trống này. Để hai bạn C không kề nhau, 4 khoảng trống ở giữa bắt buộc phải có ít nhất 1 người. Gọi số người ở các khoảng trống lần lượt là .

Ta có hệ: (với và ).

Nghiệm của phương trình này dẫn đến 2 cấu hình chỗ ngồi:

Cấu hình 1 (2 trường hợp): Mỗi khoảng trống có đúng 1 người, xếp vào (1,2,3,4,5) hoặc (2,3,4,5,6). Các bạn A và B đứng độc lập hoàn toàn, không bao giờ có thể kề nhau.

Số cách xếp 5 bạn (2A, 3B) vào 5 vị trí: .

Tổng: cách.

Cấu hình 2 (4 trường hợp): Có đúng 1 khoảng trống ở giữa chứa 2 bạn, 3 khoảng trống ở giữa còn lại chứa 1 bạn, 2 khoảng ngoài cùng bằng 0. (Ví dụ: khoảng 2 chứa 2 bạn).

Tại khoảng chứa 2 bạn, buộc phải điền 1 bạn A và 1 bạn B (nếu điền 2A hoặc 2B thì vi phạm điều kiện "không cùng lớp kề nhau"). Số cách chọn và sắp xếp 1A, 1B đứng vào khoảng này: cách.

Còn lại 3 người (1A, 2B), xếp vào 3 khoảng độc lập: cách.

Tổng: cách.

Tổng số cách thuận lợi: cách.

Xác suất thực tế: .