Đăng nhập Đăng ký

ID: 14761

Vận dụng cao (M4)
Một hàng ngang có 20 chiếc ghế trống. Cần chọn ra 6 chiếc ghế sao cho: - Không có hai ghế nào kề nhau được chọn. - Khoảng cách giữa hai ghế được chọn bất kỳ không quá 5 (tức là giữa hai ghế được chọn có tối đa 4 ghế trống). Số cách chọn là .

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle y_1, y_7 \ge 0$ là khoảng trống ở hai đầu hàng ghế. Gọi $\displaystyle y_2, ..., y_6$ là 5 khoảng trống ở giữa các ghế được chọn.
Tổng số ghế trống: $\displaystyle \sum_{i=1}^{7} y_i = 20 - 6 = 14$ .
Điều kiện: $\displaystyle 1 \le y_i \le 4$ với $\displaystyle i \in \{2..6\}$ .
Đặt $\displaystyle z_i = y_i - 1 \in \{0, 1, 2, 3\}$ . Ta có $\displaystyle y_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 + z_6 + y_7 = 9$ .
Số cách chọn tương đương với hệ số của $\displaystyle x^9$ trong hàm sinh:
$\displaystyle P(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \times (1+x+x^2+x^3)^5 = \frac{(1-x^4)^5}{(1-x)^7}$
Khai triển thành $\displaystyle (1 - 5x^4 + 10x^8 - \dots) \times \sum_{k=0}^{\infty} C_{k+6}^6 x^k$ .
Hệ số của $\displaystyle x^9$ là: $\displaystyle 1 \times C_{9+6}^6 - 5 \times C_{5+6}^6 + 10 \times C_{1+6}^6 = C_{15}^6 - 5C_{11}^6 + 10C_7^6 = 5005 - 2310 + 70 = 2765$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi