Đăng nhập Đăng ký

ID: 14827

Nhận biết (M1)
Bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài $\displaystyle \sqrt{\frac{7 0 0}{\sqrt{3}}} \textrm{ } \left(\right. m \left.\right)$ và muốn rào một khu vườn có dạng hình thang cân $\displaystyle A B C D$ như trong hình vẽ. Khu vườn có 3 mặt rào, mặt còn lại tiếp giáp với bờ sông nên không cần rào. Hỏi diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle a = \sqrt{\frac{7 0 0}{\sqrt{3}}} \textrm{ } \left(\right. m \left.\right)$ . Dựng các đường cao $\displaystyle A E$ và $\displaystyle B F$ của hình thang cân $\displaystyle A B C D$ như hình vẽ trên.
Vì $\displaystyle A B C D$ là hình thang cân nên $\displaystyle D E = F C$ và $\displaystyle E F = A B = a$ .
Đặt $\displaystyle D E = F C = x \textrm{ } \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. x > 0 \left.\right)$ . Ta có $\displaystyle D C = D E + E F + F C = x + a + x = 2 x + a$
Ta có $\displaystyle A E = \sqrt{A D^{2} - D E^{2}} = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$
Ta thấy, $\displaystyle x$ phải thỏa mãn điều kiện $\displaystyle 0 < x < a$ .
Diện tích của hình thang cân $\displaystyle A B C D$ là
$\displaystyle S = \frac{1}{2} \left(\right. A B + C D \left.\right) A E = \frac{1}{2} \left(\right. a + 2 x + a \left.\right) \sqrt{a^{2} - x^{2}} = \left(\right. a + x \left.\right) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$
Xét hàm số $\displaystyle S \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. a + x \left.\right) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ với $\displaystyle x \in \left(\right. 0 ; a \left.\right)$ . $\displaystyle \Rightarrow S ' \left(\right. x \left.\right) = \frac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$
$\displaystyle \begin{array}{l} \Rightarrow S ' \left(\right. x \left.\right) = 0 \Leftrightarrow \frac{- 2 x^{2} - a x + a^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow - 2 x^{2} - a x + a^{2} = 0 \Leftrightarrow \left(\right. x + a \left.\right) \left(\right. a - 2 x \left.\right) = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - a \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. l \left.\right) \\ x = \frac{a}{2} \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. n \left.\right) \end{array}$
Bảng biến thiên của hàm số $\displaystyle S \left(\right. x \left.\right)$ như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số $\displaystyle S \left(\right. x \left.\right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\displaystyle \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ tại $\displaystyle x = \frac{a}{2}$ .
Thay $\displaystyle a = \sqrt{\frac{7 0 0}{\sqrt{3}}}$ vào biểu thức $\displaystyle \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 . \left(\right. \sqrt{\frac{7 0 0}{\sqrt{3}}} \left.\right)^{2} . \sqrt{3}}{4} = 5 2 5$
Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là $\displaystyle 5 2 5 \textrm{ } m^{2}$ .
Đáp án: 525

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi