Đăng nhập Đăng ký

ID: 14830

Nhận biết (M1)
Chọn ngẫu nhiên 3 số $\displaystyle a , b , c$ trong tập hợp $\displaystyle S = \left\{\right. 1 ; 2 ; . . . ; 2 6 \left.\right\}$ . Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $\displaystyle a^{2} + b^{2} + c^{2}$ chia hết cho 5 bằng $\displaystyle \frac{m}{n}$ với $\displaystyle m , n \in \mathbb{N}^{\star}$ và $\displaystyle \frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $\displaystyle T = m + n$ .

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle A$ là tập hợp các phần tử thuộc $\displaystyle S$ mà chia hết cho 5, $\displaystyle A$ có 5 phần tử.
$\displaystyle B$ là tập hợp các phần tử thuộc $\displaystyle S$ mà chia cho 5 dư 1 hoặc dư 4, $\displaystyle B$ có 11 phần tử.
$\displaystyle C$ là tập hợp các phần tử thuộc $\displaystyle S$ mà chia cho 5 dư 2 hoặc dư 3, $\displaystyle B$ có 10 phần tử.
Ta có nhận xét
+ Với $\displaystyle k \in A$ thì $\displaystyle k^{2}$ chia hết cho 5.
+ Với $\displaystyle k \in B$ thì $\displaystyle k^{2}$ chia cho 5 dư 1.
+ Với $\displaystyle k \in C$ thì $\displaystyle k^{2}$ chia cho 5 dư 4.
Số phần tử của không gian mẫu là $\displaystyle C_{2 6}^{3}$ .
Để chọn được 3 số thỏa mãn bài toán, ta có hai trường hợp
+ Trường hợp: 3 số được chọn đều thuộc $\displaystyle A$ , có $\displaystyle C_{5}^{3}$ cách chọn.
+ Trường hợp: 3 số được chọn có mỗi số thuộc mỗi tập $\displaystyle A , B , C$ , có $\displaystyle C_{5}^{1} \cdot C_{1 1}^{1} \cdot C_{1 0}^{1}$ cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố là $\displaystyle C_{5}^{3} + C_{5}^{1} \cdot C_{1 0}^{1} \cdot C_{1 1}^{1}$ .
Xác suất của biến cố là $\displaystyle \frac{C_{5}^{3} + C_{5}^{1} \cdot C_{1 0}^{1} \cdot C_{1 1}^{1}}{C_{2 6}^{3}} = \frac{1 4}{6 5} = \frac{m}{n}$ . Suy ra $\displaystyle m + n = 7 9$ .
Đáp án: 79
----HẾT---

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi