Đăng nhập Đăng ký

ID: 14840

Vận dụng cao (M4)
Một dãy hoán vị $\displaystyle (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ của tập hợp $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$ được gọi là hoán vị "răng cưa" (alternating) nếu nó thỏa mãn điều kiện $\displaystyle a_1 < a_2 > a_3 < a_4 > a_5$ . Số các hoán vị răng cưa có thể tạo ra là

`1`
Giải thích đáp án:
Vị trí đỉnh ( $\displaystyle a_2, a_4$ ) phải là các số lớn nhất. Trong tập $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , ta chia các trường hợp cho $\displaystyle \{a_2, a_4\}$ :
1. $\displaystyle \{a_2, a_4\} = \{5, 4\}$ : Các vị trí còn lại là $\displaystyle \{1, 2, 3\}$ .
Nếu $\displaystyle a_3 = 1 \Rightarrow \{a_1, a_5\} = \{2, 3\}$ (có $\displaystyle 2! = 2$ cách xếp).
Nếu $\displaystyle a_3 = 2 \Rightarrow \{a_1, a_5\} = \{1, 3\}$ (có $\displaystyle 2! = 2$ cách xếp).
Nếu $\displaystyle a_3 = 3 \Rightarrow \{a_1, a_5\} = \{1, 2\}$ (có $\displaystyle 2! = 2$ cách xếp).
$\displaystyle \Rightarrow$ Có $\displaystyle 6$ cách. Đảo vị trí $\displaystyle a_2, a_4$ (ví dụ: $\displaystyle a_2=4, a_4=5$ ) ta có thêm $\displaystyle 6$ cách nữa. Tổng là $\displaystyle 12$ cách.
2. $\displaystyle \{a_2, a_4\} = \{5, 3\}$ : Các vị trí còn lại là $\displaystyle \{1, 2, 4\}$ .
Bắt buộc $\displaystyle a_1 = 4$ (vì $\displaystyle 4$ không thể đứng ở $\displaystyle a_3, a_5$ do phải nhỏ hơn $\displaystyle 3$ ).
Khi đó $\displaystyle \{a_3, a_5\} = \{1, 2\}$ (có $\displaystyle 2! = 2$ cách).
$\displaystyle \Rightarrow$ Có $\displaystyle 2$ cách. Đảo vị trí $\displaystyle a_2, a_4$ (tức $\displaystyle a_2=3, a_4=5$ ) ta có thêm $\displaystyle 2$ cách nữa. Tổng là $\displaystyle 4$ cách.
Tổng số hoán vị: $\displaystyle 12 + 4 = 16$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi