ID: 15060

Nhận biết (M1)
Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu thể thao mạo hiểm là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3m. Bề mặt tiếp xúc với mặt đất là một hình chữ nhật, giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $\displaystyle A B = 2 \text{m}$ . Thiết diện của tường cong khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $\displaystyle A B$ tại $\displaystyle A$ là một tam giác cong $\displaystyle A C E$ vuông tại $\displaystyle C$ với $\displaystyle A C = 4 \text{m}$ , $\displaystyle C E = 3 \text{m}$ , cạnh cong $\displaystyle A E$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle A C$ thì đường cong có độ cao 1m (xem hình vẽ sau). Chọn hệ trục tọa độ $\displaystyle O x y$ sao cho $\displaystyle O$ trùng $\displaystyle A$ , điểm $\displaystyle C$ thuộc tia $\displaystyle O x$ và $\displaystyle O y$ vuông góc với mặt đất (như hình vẽ dưới đây).

Phát biểu Đúng Sai
Khi đó cạnh cong $\displaystyle A E$ nằm trên parabol (P) đi qua các điểm $\displaystyle \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 2 ; 1 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 4 ; 3 \left.\right)$ .
Diện tích tam giác cong $\displaystyle A C E$ là $\displaystyle S = \frac{1 4}{3} \text{m}^{\text{2}}$ .
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $\displaystyle O x$ tại điểm có hoành độ $\displaystyle x \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 0 < x \leq 4 \left.\right)$ ta được thiết diện là hình chữ nhật với diện tích $\displaystyle S \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{2} x \left(\right. x + 2 \left.\right)$ .
Thể tích của khối bê tông này lớn hơn $\displaystyle 9 \text{m}^{\text{3}}$ .
Giải thích đáp án:
(a) ĐÚNG
Với hệ trục tọa độ $\displaystyle O x y$ đã chọn thì $\displaystyle A \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)$ , điểm $\displaystyle E \left(\right. 4 ; 3 \left.\right)$ . Khi đó cạnh cong $\displaystyle A E$ nằm trên parabol (P) đi qua các điểm $\displaystyle \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 2 ; 1 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 4 ; 3 \left.\right)$ . Vậy (a) đúng.
(b) ĐÚNG
Dựa vào câu trên ta có parabol qua ba điểm $\displaystyle \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 2 ; 1 \left.\right) , \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 4 ; 3 \left.\right)$ có dạng $\displaystyle y = a x^{2} + b x + c$ , trong đó số thực $\displaystyle a , b , c$ thỏa mãn $\displaystyle \begin{cases} 0 = c \\ 1 = 4 a + 2 b \\ 3 = 1 6 a + 4 b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{8} \\ b = \frac{1}{4} \\ c = 0 \end{cases}$ $\displaystyle \Rightarrow \left(\right. P \left.\right) : y = \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{4} x$ .
Diện tích tam giác cong $\displaystyle A C E$ là $\displaystyle S = \int_{0}^{4} \left(\right. \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{4} x \left.\right) \text{d} x = \frac{1 4}{3} \left(\right. m^{2} \left.\right)$ . Vậy (b) đúng.
(c) SAI
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $\displaystyle O x$ tại điểm có hoành độ $\displaystyle x \textrm{ } \textrm{ } \left(\right. 0 < x \leq 4 \left.\right)$ ta được thiết diện là hình chữ nhật với diện tích có chiều dài hai cạnh lần lượt là 2 và $\displaystyle \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{4} x$ nên $\displaystyle S \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{4} x \left(\right. x + 2 \left.\right)$
Vậy (c) sai.
(d) ĐÚNG
Thể tích của khối bê tông $\displaystyle V = \int_{0}^{4} S \left(\right. x \left.\right) \text{d} x = \int_{0}^{4} \left(\right. \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x \left.\right) \text{d} x = \frac{2 8}{3} \left(\right. m^{2} \left.\right) > 9 \left(\right. m^{2} \left.\right)$ . Vậy (d) đúng.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi