Đăng nhập Đăng ký

ID: 15066

Nhận biết (M1)
Trong một giải bóng đá dành cho học sinh, các bạn được chia vào đúng một trong hai đội cổ vũ: Đội Cổ vũ Xanh và Đội Cổ vũ Đỏ. Ban tổ chức nhận thấy rằng nếu chọn ngẫu nhiên 2 bạn bất kỳ trong khu vực khán đài thì xác suất để 2 bạn đó cùng cổ vũ cho một đội bằng đúng $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Biết rằng tổng số bạn học sinh trên khán đài nằm trong khoảng từ 300 đến 350 và số bạn thuộc Đội Cổ vũ Xanh nhiều hơn số bạn thuộc Đội Cổ vũ Đỏ. Hỏi có bao nhiêu bạn thuộc Đội Cổ vũ Đỏ?

`1`
Giải thích đáp án:
Lời giải
Gọi $\displaystyle x$ là số bạn thuộc Đội Cổ vũ Xanh, $\displaystyle y$ là số bạn thuộc Đội Cổ vũ Đỏ và $\displaystyle n = x + y .$
Ta có $\displaystyle 3 0 0 \leq n \leq 3 5 0 , \textrm{ }\&\#\text{x2003}; x > y .$
Xác suất chọn ngẫu nhiên 2 bạn cùng đội là $\displaystyle \frac{\text{C}_{x}^{2} + \text{C}_{y}^{2}}{\text{C}_{n}^{2}} = \frac{1}{2} .$
Suy ra $\displaystyle 2 \left(\right. \text{C}_{x}^{2} + \text{C}_{y}^{2} \left.\right) = \text{C}_{n}^{2} .$
Thay $\displaystyle \text{C}_{k}^{2} = \frac{k \left(\right. k - 1 \left.\right)}{2}$ , ta được
$\displaystyle \begin{array}{l} x \left(\right. x - 1 \left.\right) + y \left(\right. y - 1 \left.\right) = \frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{2} \\ \Leftrightarrow \\ 2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 2 y = \left(\left(\right. x + y \left.\right)\right)^{2} - \left(\right. x + y \left.\right) \\ \\ \Leftrightarrow \\ x^{2} + y^{2} - 2 x y - x - y = 0 \\ \\ \Rightarrow \\ \left(\left(\right. x - y \left.\right)\right)^{2} = x + y = n . \end{array}$
Vậy $\displaystyle n$ phải là một số chính phương. Đặt $\displaystyle d = x - y > 0$ thì
$\displaystyle \begin{cases} x + y = d^{2} , \\ x - y = d . \end{cases}$
Giải hệ ta được $\displaystyle x = \frac{d^{2} + d}{2} , \textrm{ }\&\#\text{x2003}; y = \frac{d^{2} - d}{2} .$
Do $\displaystyle 3 0 0 \leq d^{2} \leq 3 5 0$ , trong khoảng này chỉ có một số chính phương:
$\displaystyle 3 2 4 = 1 8^{2} \Rightarrow d = 1 8 .$
Khi đó
$\displaystyle x = \frac{3 2 4 + 1 8}{2} = 1 7 1 , y = \frac{3 2 4 - 1 8}{2} = 1 5 3 .$
Vậy trên khán đài có 171 bạn thuộc Đội Cổ vũ Xanh và 153 bạn thuộc Đội Cổ vũ Đỏ.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi