Nhận biết (M1)

Đặt ngẫu nhiên các số thuộc tập hợp vào 25 ô vuông của lưới (hình vẽ lưới dưới đây) sao cho mỗi ô vuông chỉ được đặt đúng một số.

Gọi biến cố “Tích các số trong mỗi hàng và tích các số trong mỗi cột đều bằng −2”. Biết xác suất của biến cố bằng , tính .

1

Xác nhận

Giải thích đáp án:

Lời giải

Số cách điền các số vào bảng là .

Mỗi phần tử trong bảng thuộc tập , do đó có giá trị tuyệt đối thuộc .

Tích các số trong một hàng bằng −2, suy ra tích các giá trị tuyệt đối của các số trong hàng đó bằng 2.

Với 5 số đều thuộc và tích bằng 2, cách duy nhất là: trong mỗi hàng có đúng một số có giá trị tuyệt đối bằng 2 và bốn số còn lại có giá trị tuyệt đối bằng 1.

Tương tự, mỗi cột cũng phải có đúng một số có giá trị tuyệt đối bằng 2.

Vậy việc đặt các số 2 (về mặt giá trị tuyệt đối) chính là việc đặt 5 số 2 vào bảng sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều chứa đúng một số 2.

Số cách làm việc này chính là số hoán vị của 5 phần tử:

Sau khi đã cố định vị trí các số 2 (các ô còn lại đều có giá trị tuyệt đối bằng 1), ta chỉ cần gán dấu cho từng ô sao cho:

- Tích các dấu trong mỗi hàng bằng −1 (tức số lượng dấu − trong mỗi hàng là lẻ).

- Tích dấu trong mỗi cột bằng −1 (tương tự).

Ta chia bảng thành 4 phần, gồm

- Bảng ở góc trên, bên trái.

- Hình chữ nhật ở góc bên trái, dưới cùng.

- Hình chữ nhật ở góc trên, ngoài cùng, bên phải.

- Hình chữ nhật ở góc dưới cùng, bên phải.

Khi đó

- Mỗi ô vuông trong hình chữ nhật có 2 cách chọn dấu, suy ra có có cách chọn dấu cho bảng hình vuông .

- Ứng với mỗi cách chọn dấu đó thì các hình chữ nhật và có duy nhất một cách chọn dấu.

- Ô vuông còn lại có duy nhất một cách chọn dấu.

Do đó số cách gán dấu thỏa mãn là .

Vị trí các số 2 và việc gán dấu là độc lập với nhau, nên

Xác suất của biến cố là

Suy ra .