Đăng nhập Đăng ký

ID: 15585

Nhận biết (M1)
Cho hình chóp $\displaystyle S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, góc $\displaystyle \hat{A B C} = 6 0 \circ$ và cạnh bên $\displaystyle S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\displaystyle M , N$ lần lượt là trung điềm $\displaystyle S B , S D .$ Biết số đo góc nhị điện $\displaystyle \left<span style=$ \right."> bằng $\displaystyle 1 2 0 \circ .$ Khoảng cách từ điểm $\displaystyle C$ đến mặt phằng $\displaystyle \left(\right. S B D \left.\right)$ bằng bao nhiêu (lăm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle H , K$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle A B , A D ; E = H K \cap A C ; O = A C \cap B D .$
Ta có: $\displaystyle M H \parallel S A , M H = \frac{1}{2} S A ; N K \parallel S A , N K = \frac{1}{2} S A \Rightarrow M H \parallel N K , M H = N K .$
$\displaystyle \begin{matrix}H K \parallel B D \\ A C \bot B D\end{matrix} \left.\right\} \Rightarrow A C \bot H K \\ A C \bot S A \Rightarrow A C \bot M N \left.\right\} \Rightarrow A C \bot \left(\right. M N K H \left.\right) \Rightarrow \left[\right. M , A C , N \left]\right. = \hat{M E N} = 1 2 0 \circ$
Ta lại có: $\displaystyle \Delta M H E = \Delta N K E \Rightarrow \hat{M E H} = \hat{N E K} = \frac{1 8 0 \circ - \hat{M E N}}{2} = 3 0 \circ$
$\displaystyle \hat{A B C} = 6 0 \circ \Rightarrow \Delta A B C$ đều.
Suy ra $\displaystyle H E = \frac{1}{2} B O = \frac{1}{2} . \frac{2 . \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow M H = H E . t a n \hat{M E H} = \frac{\sqrt{3}}{2} t a n 3 0 \circ = \frac{1}{2} .$
Suy ra $\displaystyle S A = 2 M H = 2 . \frac{1}{2} = 1 = A O \Rightarrow \Delta S A O$ vuông cân tại $\displaystyle A .$
Ta có: $\displaystyle A C \cap \left(\right. S B D \left.\right) = O$ là trung điểm của $\displaystyle A C$ nên $\displaystyle d \left(\right. C , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) = d \left(\right. A , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right)$
Kẻ $\displaystyle A I \bot S O$ . Khi đó:
$\displaystyle \begin{matrix}\begin{matrix}B D \bot A C \\ B D \bot S A\end{matrix} \left.\right\} \Rightarrow B D \bot \left(\right. S A C \left.\right) \\ \textrm{ } \textrm{ } A I \subset \left(\right. S A C \left.\right)\end{matrix} \left.\right\} \Rightarrow B D \bot A I \Rightarrow A I \bot \left(\right. S B D \left.\right) \\ \Rightarrow d \left(\right. C , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) = A I = \frac{1}{2} S O = \frac{1}{2} \sqrt{S A^{2} + A O^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0 , 7 .$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi