Nhận biết (M1)

Trong một hộp kín đựng 102 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 102. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ hộp. Có bao nhiêu cách lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng.

1

Xác nhận

Giải thích đáp án:

Lời giải

Giả sử ba tấm thẻ lấy ra có số ghi là theo thứ tự tăng dần ( ).

Để ba số này lập thành một cấp số cộng, ta phải có tính chất:

Điều này có nghĩa là tổng của số đầu và số cuối phải là một số chẵn (vì luôn chẵn).

Để tổng là số chẵn, thì và phải cùng tính chẵn lẻ (tức là cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ).

Nhận xét quan trọng: Khi bạn chọn được 2 số đầu và cuối ( và ) có cùng tính chẵn lẻ, thì số ở giữa ( ) sẽ là duy nhất và chắc chắn là số nguyên nằm giữa và .

Bài toán quy về việc: Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ tập hợp sao cho 2 tấm đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Tập hợp có 102 phần tử.

Số lượng số lẻ là: . Số lượng = số.

Số lượng số chẵn là: . Số lượng = số.

Để có 3 số lập thành cấp số cộng, ta cần chọn 2 số đầu cuối từ cùng một nhóm (chẵn hoặc lẻ):

+ Trường hợp 1: Chọn 2 số đều là số lẻ.

Số cách chọn 2 số từ 51 số lẻ là tổ hợp chập 2 của 51:

(Ví dụ: Chọn 1 và 5 thì số ở giữa chắc chắn là 3. Bộ là 1, 3, 5)

+ Trường hợp 2: Chọn 2 số đều là số chẵn.

Số cách chọn 2 số từ 51 số chẵn là tổ hợp chập 2 của 51:

(Ví dụ: Chọn 2 và 10 thì số ở giữa chắc chắn là 6. Bộ là 2, 6, 10)

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

Tổng số cách lấy được ba tấm thẻ lập thành cấp số cộng là: