Đăng nhập Đăng ký

ID: 15699

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho vectơ $\displaystyle \vec{u}=(1;1;-\sqrt{2})$ , $\displaystyle \vec{v}=(1;0;m)$ . Có bao nhiêu giá trị của $\displaystyle m$ để góc giữa hai vectơ $\displaystyle \vec{u}$ và $\displaystyle \vec{v}$ bằng $\displaystyle 60^\circ$ ?

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle (\vec{u},\vec{v})=60^\circ$
$\displaystyle |\vec{u}|=\sqrt{1^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=2$ và $\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{1^2+0^2+m^2}=\sqrt{1+m^2}$ .
Tích vô hướng $\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}=1-m\sqrt{2}$ .
Khi đó: $\displaystyle \cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}\Leftrightarrow\cos 60^\circ=\frac{1-m\sqrt{2}}{2\sqrt{1+m^2}}\Leftrightarrow\frac{1-m\sqrt{2}}{2\sqrt{1+m^2}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(1-m\sqrt{2})=2\sqrt{1+m^2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow1-m\sqrt{2}=\sqrt{1+m^2}\Leftrightarrow\begin{cases}1-m\sqrt{2}\ge0\\ (1-m\sqrt{2})^2=1+m^2\end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow\begin{cases}m\le\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1-2m\sqrt{2}+2m^2=1+m^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m\le\frac{1}{\sqrt{2}}\\ m^2-2m\sqrt{2}=0\end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow\begin{cases}m\le\frac{1}{\sqrt{2}}\\\left[\begin{aligned}m&=0\\m&=2\sqrt{2}\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow m=0$ .
Vậy có 1 giá trị $\displaystyle m$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi