Đăng nhập Đăng ký

ID: 15705

Nhận biết (M1)
Cho hình chóp $\displaystyle S.ABC$ có đáy $\displaystyle ABC$ là tam giác vuông cân tại $\displaystyle A$ , cạnh $\displaystyle AB=a$ , các cạnh bên $\displaystyle SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Gọi $\displaystyle H$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ .

Phát biểu Đúng Sai
$\displaystyle SH\perp(ABC)$
Thể tích của khối chóp $\displaystyle S.ABC$ bằng $\displaystyle \frac{a^3}{2}$ .
$\displaystyle AH\perp SB$ .
Khoảng cách từ điểm $\displaystyle C$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SAB)$ bằng $\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}a$ .
Giải thích đáp án:
a) ĐÚNG
Xét $\displaystyle \Delta ABC$ vuông cân tại $\displaystyle A$ , nên có $\displaystyle BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = a\sqrt{2}$ , và $\displaystyle HA = HB = HC = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Do đó $\displaystyle H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\displaystyle \Delta ABC$ .
Hình chóp $\displaystyle S.ABC$ có $\displaystyle SA = SB = SC$ , nên hình chiếu của $\displaystyle S$ lên đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\displaystyle \Delta ABC$ . Suy ra $\displaystyle SH \perp (ABC)$ .
b) SAI
Xét $\displaystyle \Delta ABC$ vuông tại $\displaystyle A$ , có $\displaystyle S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{a^2}{2}$
Xét $\displaystyle \Delta SAH$ vuông tại $\displaystyle H$ có $\displaystyle SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = a$
Vậy thể tích khối chóp $\displaystyle S.ABC$ là: $\displaystyle V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a = \frac{a^3}{6}$ (đvtt)
c) ĐÚNG
Vì $\displaystyle SH \perp (ABC) \Rightarrow SH \perp AH \Rightarrow \overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AH} = 0$
Vì $\displaystyle \Delta ABC$ vuông cân tại $\displaystyle A \Rightarrow AH \perp BC \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HB} = 0$
Tính $\displaystyle \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{AH}.(\overrightarrow{SH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{SH} + \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HB} = 0 \Rightarrow AH \perp SB$ .
d) ĐÚNG
Khoảng cách từ điểm $\displaystyle C$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SAB)$ bằng $\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}a$ .
Trong $\displaystyle \Delta ABC$ kẻ $\displaystyle HK \perp AB$ , suy ra $\displaystyle HK // AC$ , vậy $\displaystyle HK$ là đường trung bình của $\displaystyle \Delta ABC$ , nên $\displaystyle HK = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$ .
Khi đó có $\displaystyle \begin{cases} AB \perp HK \\ AB \perp SH \text{ (do } SH \perp (ABC) \text{)} \end{cases} \Rightarrow AB \perp (SHK)$ .
Trong $\displaystyle \Delta SHK$ kẻ $\displaystyle HI \perp SK \Rightarrow HI \perp AB$ . Vậy $\displaystyle HI \perp (SAB)$ .
Do đó $\displaystyle d(H, (SAB)) = HI = \frac{HK.HS}{\sqrt{HK^2 + HS^2}} = \frac{\frac{a}{2}.a}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}$ .
Vì $\displaystyle H$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ , nên $\displaystyle d(C, (SAB)) = 2.d(H, (SAB)) = 2.HI = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi