Đăng nhập Đăng ký

ID: 15713

Nhận biết (M1)
Với $\displaystyle a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\displaystyle \frac{3}{8}<a<1$ ; $\displaystyle \frac{1}{3}<b<1$ ; $\displaystyle \frac{1}{8}<c<1$ .
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\displaystyle P=4\log_{a}\left(\frac{3b-1}{4}\right)+3\log_{b}\left(\frac{c}{2}-\frac{1}{16}\right)+6\log_{c}\left(\frac{a}{2}-\frac{3}{16}\right)$ .

`1`
Giải thích đáp án:
+ Ta có $\displaystyle b^3-\frac{3b-1}{4}=\frac{4b^3-3b+1}{4}=\frac{(2b-1)^2(b+1)}{4}\ge 0 \Rightarrow \frac{3b-1}{4}\le b^3$ .
Vì $\displaystyle a<1$ nên $\displaystyle 4\log_{a}\left(\frac{3b-1}{4}\right)\ge 4\log_{a}(b^3)=12\log_{a}b$ .
+ Ta có $\displaystyle c^2-\left(\frac{c}{2}-\frac{1}{16}\right)=c^2-\frac{c}{2}+\frac{1}{16}=\left(c-\frac{1}{4}\right)^2\ge 0 \Rightarrow \frac{c}{2}-\frac{1}{16}\le c^2$ .
Vì $\displaystyle b<1$ nên $\displaystyle 3\log_b\left(\frac{c}{2}-\frac{1}{16}\right)\ge 3\log_b(c^2)=6\log_b c$ .
+ Ta có $\displaystyle a^4-\left(\frac{a}{2}-\frac{3}{16}\right)=a^4-\frac{a}{2}+\frac{3}{16}$ .
Sử dụng biến đổi: $\displaystyle a^4-\frac{1}{2}a+\frac{3}{16}=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\left(a^2+a+\frac{3}{4}\right)\ge 0\Rightarrow\frac{a}{2}-\frac{3}{16}\le a^4$ .
Vì $\displaystyle c<1$ nên $\displaystyle 6\log_c\left(\frac{a}{2}-\frac{3}{16}\right)\ge 6\log_c(a^4)=24\log_c a$ .
+ Cộng 3 bất đẳng thức ta được: $\displaystyle P\ge 12\log_a b+6\log_b c+24\log_c a$
Ta có $\displaystyle P\ge 3\sqrt[3]{12\cdot 6\cdot 24\cdot(\log_a b\cdot\log_b c\cdot\log_c a)}\ge 3\sqrt[3]{1728\cdot 1}=36$ . Vậy $\displaystyle MinP=36$ khi và chỉ khi $\displaystyle b=1/2,c=1/4,a=1/2$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi