Đăng nhập Đăng ký

ID: 17029

Vận dụng (M3)
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\displaystyle (x ; y)$ là nghiệm của phương trình $\displaystyle x.3125^x = (y+1)5^y$ và thỏa mãn $\displaystyle y \le 60$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle x.3125^x = (y+1)5^y \Leftrightarrow x.5^{5x} = (y+1)5^y$
$\displaystyle \Leftrightarrow \log_5(x.5^{5x}) = \log_5[(y+1)5^y] \Leftrightarrow 5x + \log_5 x = \log_5(y+1) + y$
$\displaystyle \Leftrightarrow 5x + \log_5(5x) = (y+1) + \log_5(y+1)$ .
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = t + \log_5 t, t > 0$ .
Ta có $\displaystyle f'(t) = 1 + \frac{1}{t.\ln5} > 0, \forall t > 0$ . Khi đó $\displaystyle f(5x) = f(y+1) \Leftrightarrow 5x = y+1$ .
Như vậy tương ứng với mỗi giá trị $\displaystyle x$ nguyên dương ta đều có $\displaystyle y$ nguyên dương mà $\displaystyle y \le 60$ suy ra $\displaystyle 5x \le 61 \Leftrightarrow x \le \frac{61}{5}$ .
Mặt khác $\displaystyle x$ nguyên dương nên $\displaystyle x \in \{1 ; 2 ; 3 ; ... ; 12\}$ .
Vậy có 12 cặp số $\displaystyle (x ; y)$ nguyên dương thỏa mãn đề bài.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi