Đăng nhập Đăng ký

ID: 17030

Vận dụng (M3)
Có bao nhiêu cặp $\displaystyle (x ; y)$ thỏa mãn $\displaystyle 10^{\frac{10}{x+y}} = \left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)10^{\frac{1}{xy}}$ và $\displaystyle x \in \mathbb{N}^, y > 0$ .

Giải thích đáp án:
$\displaystyle 10^{\frac{10}{x+y}} = \left(x+y+\frac{x+y}{xy}\right)10^{\frac{1}{xy}} \Leftrightarrow 10^{\frac{10}{x+y}} = \frac{(x+y)(xy+1)}{xy} . 10^{\frac{1}{xy}} \Leftrightarrow \frac{10}{x+y} . 10^{\frac{10}{x+y}} = \left(1+\frac{1}{xy}\right) . 10^{1+\frac{1}{xy}}$
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = t.10^t$ trên khoảng $\displaystyle (0 ; +\infty)$ .
$\displaystyle f'(t) = 10^t + t.10^t \ln 10 > 0, \forall t > 0$ nên hàm số $\displaystyle f(t) = t.10^t$ đồng biến trên khoảng $\displaystyle (0 ; +\infty)$
Do đó: $\displaystyle \frac{10}{x+y} . 10^{\frac{10}{x+y}} = \left(1+\frac{1}{xy}\right) . 10^{1+\frac{1}{xy}} \Leftrightarrow \frac{10}{x+y} = 1+\frac{1}{xy}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 10 = (x+y)\left(1+\frac{1}{xy}\right) \Leftrightarrow 10 - \left(y+\frac{1}{y}\right) = x+\frac{1}{x}$ .
Vì $\displaystyle y+\frac{1}{y} \ge 2, \forall y > 0$ nên $\displaystyle x+\frac{1}{x} \le 8 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 1 \le 0 \Leftrightarrow 4 - \sqrt{15} \le x \le 4 + \sqrt{15}, x \in \mathbb{N}^$
$\displaystyle \Rightarrow x \in A = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$ .
Với mỗi số $\displaystyle a > 0$ phương trình $\displaystyle y+\frac{1}{y} = a \Leftrightarrow y^2 - ay + 1 = 0 \quad ()$ có $\displaystyle \begin{cases} \Delta > 0 \\ S = a > 0 \\ P = 1 > 0 \end{cases}$
$\displaystyle \Rightarrow$ Phương trình $\displaystyle ()$ luôn có hai nghiệm $\displaystyle y > 0$ . Vậy có 14 cặp $\displaystyle (x ; y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi