Đăng nhập Đăng ký

ID: 17032

Thông hiểu (M2)
Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\displaystyle 2^{2x^2-15x+100} - 2^{x^2+10x-50} + x^2 - 25x + 150 < 0$ là

Giải thích đáp án:
ĐKXĐ: $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ .
Xét bất phương trình $\displaystyle 2^{2x^2-15x+100} - 2^{x^2+10x-50} + x^2 - 25x + 150 < 0$ .
$\displaystyle \Leftrightarrow 2^{2x^2-15x+100} - 2^{x^2+10x-50} + (2x^2 - 15x + 100) - (x^2 + 10x - 50) < 0$ .
$\displaystyle \Leftrightarrow 2^{2x^2-15x+100} + (2x^2 - 15x + 100) < 2^{x^2+10x-50} + (x^2 + 10x - 50)$ (1)
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = 2^t + t$ với $\displaystyle t \in \mathbb{R}$ .
Ta có $\displaystyle f'(t) = 2^t.\ln2 + 1 > 0$ với $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R}$ . Suy ra hàm số $\displaystyle f(t)$ đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Mặt khác, $\displaystyle (1) \Leftrightarrow f(2x^2 - 15x + 100) < f(x^2 + 10x - 50)$ .
Suy ra $\displaystyle 2x^2 - 15x + 100 < x^2 + 10x - 50 \Leftrightarrow x^2 - 25x + 150 < 0 \Leftrightarrow 10 < x < 15$ .
Nghiệm nguyên của bất phương trình là $\displaystyle x \in \{11 ; 12 ; 13 ; 14\}$ .
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi