Đăng nhập Đăng ký

ID: 17034

Vận dụng (M3)
Gọi $\displaystyle S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $\displaystyle m$ để bất phương trình sau $\displaystyle x^6 + 3x^4 - m^3x^3 + 4x^2 - mx + 2 \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x \in [1;3]$ . Tổng tất cả các phần tử của $\displaystyle S$ bằng

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle x^6 + 3x^4 - m^3x^3 + 4x^2 - mx + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x^6 + 3x^4 + 4x^2 + 2 \ge m^3x^3 + mx$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x^2 + 1)^3 + (x^2 + 1) \ge (mx)^3 + mx \quad (1)$
Xét hàm đặc trưng $\displaystyle f(t) = t^3 + t \Rightarrow f'(t) = 3t^2 + 1 > 0$
$\displaystyle (1) \Leftrightarrow f(x^2 + 1) \ge f(mx) \Leftrightarrow x^2 + 1 \ge mx$
Bài toán trở thành tìm $\displaystyle m$ để bất phương trình $\displaystyle x^2 + 1 \ge mx$ nghiệm đúng với mọi $\displaystyle x \in [1;3]$
$\displaystyle x^2 + 1 \ge mx \Leftrightarrow m \le \frac{x^2 + 1}{x} = g(x), \forall x \in [1;3]$
$\displaystyle g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \ge 0 \forall x \in [1;3] \Rightarrow \min\limits_{x\in[1;3]} g(x) = g(1) = 2$
YCBT $\displaystyle \Leftrightarrow m \le 2$ .
Vì $\displaystyle m \in \mathbb{Z}^+$ nên $\displaystyle m \in \{1; 2\} \to S = 1 + 2 = 3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi