Đăng nhập Đăng ký

ID: 17035

Vận dụng (M3)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\displaystyle m$ để tồn tại cặp số $\displaystyle (x;y)$ thỏa $\displaystyle e^{3x+5y} - e^{x+3y+1} = 1 - 2x - 2y$ và $\displaystyle \log_3^2(3x+2y-1) - (m+6)\log_3 x + m^2 + 9 = 0$ .

Giải thích đáp án:
Điều kiện $\displaystyle \begin{cases} x > 0 \\ 3x + 2y - 1 > 0 \end{cases}$
Ta có: $\displaystyle e^{3x+5y} - e^{x+3y+1} = 1 - 2x - 2y \Leftrightarrow e^{3x+5y} + (3x + 5y) = e^{x+3y+1} + (x + 3y + 1) \quad ()$ .
Xét hàm số $\displaystyle f(t) = e^t + t$ trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Ta có $\displaystyle f'(t) = e^t + 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Do đó $\displaystyle () \Leftrightarrow f(3x+5y) = f(x+3y+1) \Leftrightarrow 3x + 5y = x + 3y + 1 \Leftrightarrow 2y = 1 - 2x$ .
Thế vào phương trình còn lại ta được $\displaystyle \log_3^2 x - (m+6)\log_3 x + m^2 + 9 = 0$ .
Đặt $\displaystyle t = \log_3 x$ , phương trình trở thành $\displaystyle t^2 - (m+6)t + m^2 + 9 = 0 \quad (1)$ .
Phương trình (1) có nghiệm $\displaystyle \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow -3m^2 + 12m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4$ .
Do đó có 5 số nguyên $\displaystyle m$ thỏa mãn.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi