Đăng nhập Đăng ký

ID: 17036

Vận dụng (M3)
Có bao nhiêu cặp số nguyên $\displaystyle (x;y)$ và $\displaystyle 0 \le x \le 2020$ thỏa mãn $\displaystyle \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) + \frac{8}{x-1} = y - 2 + 2^y$ ?

Giải thích đáp án:
Điều kiện của $\displaystyle x$ : $\displaystyle x \in (-\infty;-3) \cup (1;+\infty)$ . Nên ta chỉ kiểm tra $\displaystyle 2 \le x \le 2020$
Ta có: $\displaystyle \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) + \frac{8}{x-1} = y - 2 + 2^y \Leftrightarrow \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) + 2 + \frac{8}{x-1} = y + 2^y$
$\displaystyle \Leftrightarrow \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) + \frac{2x+6}{x-1} = y + 2^y \Leftrightarrow \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) + 2^{\log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right)} = y + 2^y \quad (1)$
Đặt $\displaystyle f(t) = 2^t + t$ .
Ta có: $\displaystyle f'(t) = 1 + 2^t.\ln 2 > 0 \forall t \Rightarrow f(t)$ luôn đồng biến.
Do đó: $\displaystyle (1) \Rightarrow f(y) = f\left(\log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right)\right) \Rightarrow y = \log_2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) \Rightarrow \frac{2x+6}{x-1} = 2^y$
Đặt $\displaystyle u = \frac{2x+6}{x-1} \Rightarrow u' = \frac{-8}{(x-1)^2} < 0 \forall x \in (-\infty;-3) \cup (1;+\infty)$
Do $\displaystyle 2 \le x \le 2020$ và $\displaystyle u = \frac{2x+6}{x-1}$ luôn nghịch biến trên $\displaystyle [2;2020]$ nên $\displaystyle u \in \left[\frac{4046}{2019}; 10\right]$
Mà: $\displaystyle u = 2^y$ và $\displaystyle y \in \mathbb{Z}$ nên $\displaystyle u \in \{4;8\}$
Với $\displaystyle u = 4 \Rightarrow \begin{cases} 4 = 2^y \Leftrightarrow y = 2 \\ \frac{2x+6}{x-1} = 4 \Leftrightarrow 2x+6 = 4x-4 \Leftrightarrow x = 5 \end{cases}$
Với $\displaystyle u = 8 \Rightarrow \begin{cases} 8 = 2^y \Leftrightarrow y = 3 \\ \frac{2x+6}{x-1} = 8 \Leftrightarrow 2x+6 = 8x-8 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3} \text{ (loại)} \end{cases}$
Vậy, phương trình có một cặp nghiệm thỏa bài toán: $\displaystyle (5;2)$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi