Đăng nhập Đăng ký

ID: 17038

Vận dụng cao (M4)
Cho phương trình $\displaystyle 2^{(x-1)^2} \cdot \log_2(x^2-2x+3) = 4^{|x-m|} \log_2(2|x-m|+2)$ với $\displaystyle m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $\displaystyle m$ trên đoạn $\displaystyle [-2019;2019]$ để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Giải thích đáp án:
Điều kiện: $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ .
$\displaystyle 2^{(x-1)^2} \cdot \log_2(x^2-2x+3) = 4^{|x-m|} \log_2(2|x-m|+2)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2^{(x-1)^2} \cdot \log_2[(x-1)^2+2] = 2^{2|x-m|} \log_2(2|x-m|+2) \quad (1)$ .
Xét hàm số $\displaystyle y = 2^t\log_2(t+2)$ với $\displaystyle t \ge 0$ .
Ta có $\displaystyle y' = 2^t.\log_2(t+2).\ln 2 + \frac{2^t}{(t+2)\ln 2} > 0, \forall t \ge 0$ .
Vậy hàm số $\displaystyle y = 2^t\log_2(t+2)$ đồng biến trên $\displaystyle [0;+\infty)$ .
Từ (1) $\displaystyle \Leftrightarrow f((x-1)^2) = f(2|x-m|) \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2|x-m| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} (x-1)^2 = 2(x-m) \\ -(x-1)^2 = 2(x-m) \end{array}\right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2m = -x^2 + 4x - 1 \quad (1) \ 2m = x^2 + 1 \quad (2) \end{array}\right. \quad (*)$
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) vô nghiệm $\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} m < \frac{3}{2} \\ m < \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$ .
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt và (1) vô nghiệm $\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} m > \frac{1}{2} \\ m > \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}$ .
TH3: (1) có nghiệm $\displaystyle x = 2$ và (2) có nghiệm $\displaystyle x = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} m = \frac{3}{2} \\ m = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m \in \varnothing$ .
Kết hợp với điều kiện $\displaystyle m$ thuộc đoạn $\displaystyle [-2019;2019]$ ta có $\displaystyle m \in \left[-2019;\frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2};2019\right]$ .
Vì $\displaystyle m$ nguyên nên ta có 4038 giá trị của $\displaystyle m$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi