Đăng nhập Đăng ký

ID: 17040

Vận dụng (M3)
Gọi $\displaystyle S$ là tập chứa các giá trị nguyên của $\displaystyle m$ để phương trình $\displaystyle e^{3x^3 - 18x + 30 - m} + e^{x^3 - 6x + 10 - m} - e^{2m} = 1$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Tính tổng các phần tử của tập $\displaystyle S$ .

Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle t = x^3 - 6x + 10$ .
Ta có phương trình $\displaystyle e^{3t - m} + e^{t - m} - e^{2m} = 1 \Leftrightarrow e^{3t} + e^t = e^{3m} + e^m$ (1).
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = e^{3x} + e^x$ xác định trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Ta có $\displaystyle f'(x) = 3e^{3x} + e^x > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ .
Suy ra $\displaystyle f(x)$ đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Từ (1), ta có $\displaystyle f(t) = f(m)$ , suy ra $\displaystyle t = m$ hay $\displaystyle x^3 - 6x + 10 = m$ (2).
Phương trình $\displaystyle e^{3x^3 - 18x + 30 - m} + e^{x^3 - 6x + 10 - m} - e^{2m} = 1$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có 3 nghiệm thực phân biệt.
Xét hàm số $\displaystyle g(x) = x^3 - 6x + 10$ với $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ .
$\displaystyle g'(x) = 3x^2 - 6 = 3(x^2 - 2); g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$ .
Ta có bảng biến thiên của $\displaystyle g(x)$
| $\displaystyle x$ | $\displaystyle -\infty$ | | $\displaystyle -\sqrt{2}$ | | $\displaystyle \sqrt{2}$ | | $\displaystyle +\infty$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\displaystyle g'(x)$ | | $\displaystyle +$ | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle -$ | $\displaystyle 0$ | $\displaystyle +$ | |
| $\displaystyle g(x)$ | $\displaystyle -\infty$ | $\displaystyle \nearrow$ | $\displaystyle 10+4\sqrt{2}$ | $\displaystyle \searrow$ | $\displaystyle 10-4\sqrt{2}$ | $\displaystyle \nearrow$ | $\displaystyle +\infty$ |
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (2) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi
$\displaystyle 10 - 4\sqrt{2} < m < 10 + 4\sqrt{2}$ .
Ta có $\displaystyle 10 - 4\sqrt{2} \approx 4,34$ và $\displaystyle 10 + 4\sqrt{2} \approx 15,66$ . Suy ra $\displaystyle S = \{5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15\}$ .
Tổng các phần tử của $\displaystyle S$ là $\displaystyle \frac{11}{2}(5 + 15) = 110$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi