Đăng nhập Đăng ký

ID: 17050

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm $\displaystyle f'(x) = (x+1)^2(x^2 - 4x)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $\displaystyle m$ để hàm số $\displaystyle g(x) = f(2x^2 - 12x + m)$ có đúng 5 điểm cực trị?

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle g'(x) = (4x - 12).f'(2x^2 - 12x + m)$
$\displaystyle = (4x - 12)(2x^2 - 12x + m + 1)^2(2x^2 - 12x + m)(2x^2 - 12x + m - 4)$
Hàm số $\displaystyle g(x)$ có đúng 5 điểm cực trị
$\displaystyle \Leftrightarrow g'(x)$ đổi dấu 5 lần
$\displaystyle \Leftrightarrow g'(x) = 0$ có 5 nghiệm đơn phân biệt
$\displaystyle \Leftrightarrow$ phương trình $\displaystyle 2x^2 - 12x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình $\displaystyle 2x^2 - 12x + m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và các nghiệm này khác nhau
Phương trình $\displaystyle 2x^2 - 12x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3 và phương trình $\displaystyle 2x^2 - 12x + m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 3.
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta'_1 > 0 \\ \Delta'_2 > 0 \\ 2.3^2 - 12.3 + m \neq 0 \\ 2.3^2 - 12.3 + m - 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36 - 2m > 0 \\ 36 - 2(m - 4) > 0 \\ m \neq 18 \\ m \neq 22 \end{cases} \Leftrightarrow m < 18$
Với điều kiện $\displaystyle m < 18$ , giả sử hai phương trình có nghiệm chung là $\displaystyle a$
Thay $\displaystyle x = a$ vào hai phương trình đã cho ta được $\displaystyle \begin{cases} 2a^2 - 12a + m = 0 \\ 2a^2 - 12a + m - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow -4 = 0$ (vô lí)
Do đó các nghiệm của hai phương trình $\displaystyle 2x^2 - 12x + m = 0$ và $\displaystyle 2x^2 - 12x + m - 4 = 0$ luôn khác nhau.
Mà $\displaystyle m$ là số nguyên dương nên $\displaystyle m \in \{1; 2; 3; 4... 17\}$ . Do đó có 17 giá trị $\displaystyle m$ thỏa mãn bài toán.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi