Đăng nhập Đăng ký

ID: 17053

Vận dụng cao (M4)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\displaystyle m$ để hàm số $\displaystyle y = \left| x^5 - 5x^2 + 5(m-1)x - 8 \right|$ nghịch biến trên khoảng $\displaystyle (-\infty; 1)$ ?

Giải thích đáp án:
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = x^5 - 5x^2 + 5(m-1)x - 8$ .
TH1: $\displaystyle f(x) = 0$ có nghiệm $\displaystyle x_0 \in (-\infty; 1)$ thì hàm số $\displaystyle y = |f(x)|$ không thể nghịch biến trên khoảng $\displaystyle (-\infty; 1)$ .
TH2: $\displaystyle f(x) = 0$ không có nghiệm $\displaystyle x_0 \in (-\infty; 1)$ .
Ta có: $\displaystyle f'(x) = 5x^4 - 10x + 5(m-1)$ .
Khi đó $\displaystyle y = \left| x^5 - 5x^2 + 5(m-1)x - 8 \right| = |f(x)| = \sqrt{f^2(x)}$ nên $\displaystyle y' = \frac{f'(x).f(x)}{\sqrt{f^2(x)}}$ .
Hàm số nghịch biến trên $\displaystyle (-\infty; 1)$ khi và chỉ khi $\displaystyle y' \le 0$ với $\displaystyle \forall x \in (-\infty; 1)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} f'(x).f(x) \le 0 \\ f(x) \ne 0 \end{cases}, \forall x \in (-\infty; 1) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) < 0 \\ f'(x) \ge 0 \end{cases}, \forall x \in (-\infty; 1)$ (vì $\displaystyle \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ )
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} f'(x) = 5x^4 - 10x + 5(m-1) \ge 0, \forall x \in (-\infty; 1) \\ f(1) = 5m - 17 \le 0 \end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -x^4 + 2x + 1, \forall x \in (-\infty; 1) \\ m \le \frac{17}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge \max\limits_{(-\infty; 1)} (-x^4 + 2x + 1) = \frac{3}{2\sqrt[3]{2}} + 1 \\ m \le \frac{17}{5} \end{cases}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3}{2\sqrt[3]{2}} + 1 \le m \le \frac{17}{5} \xrightarrow{m \in \mathbb{Z}} m = 3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi