Đăng nhập Đăng ký

ID: 17056

Vận dụng cao (M4)
Gọi $\displaystyle M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $\displaystyle f(x) = \left| x^2 + ax + b \right|$ trên đoạn $\displaystyle [-1; 3]$ . Khi $\displaystyle M$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính $\displaystyle a + 2b$ .

Giải thích đáp án:
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = \left| x^2 + ax + b \right|$ . Theo đề bài, $\displaystyle M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $\displaystyle [-1; 3]$ .
Suy ra $\displaystyle \begin{cases} M \ge f(-1) \\ M \ge f(3) \\ M \ge f(1) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} M \ge |1 - a + b| \\ M \ge |9 + 3a + b| \Rightarrow 4M \ge |1 - a + b| + |9 + 3a + b| + 2|-1 - a - b| \\ M \ge |1 + a + b| \end{cases}$
$\displaystyle \ge |1 - a + b + 9 + 3a + b + 2(-1 - a - b)| = 4M \ge 8 \Rightarrow M \ge 2$ .
Nếu $\displaystyle M = 2$ thì điều kiện cần là $\displaystyle |1 - a + b| = |9 + 3a + b| = |-1 - a - b| = 2$ và $\displaystyle 1 - a + b, 9 + 3a + b, -1 - a - b$ cùng dấu $\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - a + b = 9 + 3a + b = -1 - a - b = 2 \\ 1 - a + b = 9 + 3a + b = -1 - a - b = -2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{cases} a = -2 \\ b = -1 \end{cases}$ .
Ngược lại, khi $\displaystyle \begin{cases} a = -2 \\ b = -1 \end{cases}$ ta có, hàm số $\displaystyle f(x) = \left| x^2 - 2x - 1 \right|$ trên $\displaystyle [-1; 3]$ .
Xét hàm số $\displaystyle g(x) = x^2 - 2x - 1$ xác định và liên tục trên $\displaystyle [-1; 3]$ .
$\displaystyle g'(x) = 2x - 2; g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [-1; 3]$
$\displaystyle M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $\displaystyle f(x)$ trên $\displaystyle [-1; 3] \Rightarrow M = \max \{|g(-1)|; |g(3)|; |g(1)|\} = 2$ .
Vậy $\displaystyle \begin{cases} a = -2 \\ b = -1 \end{cases}$ . Ta có: $\displaystyle a + 2b = -4$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi