Đăng nhập Đăng ký

ID: 17057

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c$ , $\displaystyle |f(x)| \le 1, \forall x \in [0; 1]$ . Tìm giá trị lớn nhất của $\displaystyle f'(0)$

Giải thích đáp án:
$\displaystyle f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(0) = b$ .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $\displaystyle b$ với điều kiện $\displaystyle |f(x)| \le 1, \forall x \in [0; 1]$ .
Ta có: $\displaystyle \begin{cases} f(0) = c \\ f(1) = a + b + c \\ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = f(1) - f(0) \\ a + 2b = 4f\left(\frac{1}{2}\right) - 4f(0) \Rightarrow b = 4f\left(\frac{1}{2}\right) - f(1) - 3f(0). \\ c = f(0) \end{cases}$
$\displaystyle |f(x)| \le 1, \forall x \in [0; 1] \Rightarrow \begin{cases} -1 \le f(0) \le 1 \\ -1 \le f(1) \le 1 \\ -1 \le f\left(\frac{1}{2}\right) \le 1 \end{cases} \Rightarrow b = 4f\left(\frac{1}{2}\right) + (-f(1)) + 3(-f(0)) \le 4 + 1 + 3 = 8$ .
Đẳng thức xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \\ f(1) = -1 \\ f(0) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = -1 \\ a + b + c = -1 \\ \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -8 \\ b = 8 \\ c = -1 \end{cases} \Rightarrow f(x) = -8x^2 + 8x - 1$ .
Vậy giá trị lớn nhất của $\displaystyle f'(0)$ bằng $\displaystyle 8$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi