Đăng nhập Đăng ký

ID: 17058

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x) = \left| 8\cos^4 x + a\cos^2 x + b \right|$ , trong đó $\displaystyle a, b$ là tham số thực. Gọi $\displaystyle M$ là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng $\displaystyle a + b$ khi $\displaystyle M$ nhận giá trị nhỏ nhất.

Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle t = \cos^2 x, t \in [0; 1]$ , ta có hàm số $\displaystyle g(t) = |8t^2 + at + b|$ . Khi đó $\displaystyle M = \max\limits_{[0; 1]} g(t)$ .
Do đó:
$\displaystyle M \ge g(0) = |b|$ ;
$\displaystyle M \ge g(1) = |8 + a + b|$ ;
$\displaystyle M \ge g\left(\frac{1}{2}\right) = \left| 2 + \frac{1}{2}a + b \right| \Rightarrow 2M \ge |4 + a + 2b|$ ;
Từ đó ta có
$\displaystyle 4M \ge |b| + |8 + a + b| + |-4 - a - 2b| \ge |b + (8 + a + b) + (-4 - a - 2b)| = 4$
Hay $\displaystyle M \ge 1$ .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle |b| = |8 + a + b| = \frac{|-4 - a - 2b|}{2} = 1$ và $\displaystyle b, (8 + a + b), (-4 - a - 2b)$ cùng dấu $\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} a = -8 \\ b = 1 \end{cases}$ .
Vậy $\displaystyle a + b = -7$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi