Đăng nhập Đăng ký

ID: 17061

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x) = x^4 - 2x^2 + m$ với $\displaystyle m$ là tham số. Biết $\displaystyle \max\limits_{[1; 2]} |f(x)| = p$ , $\displaystyle \min\limits_{[1; 2]} |f(x)| = q$ và $\displaystyle S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên $\displaystyle m \in [-10; 10]$ sao cho bộ ba số $\displaystyle p, q, 19$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Số phần tử của tập $\displaystyle S$ bằng

Giải thích đáp án:
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = x^4 - 2x^2 + m$ , hàm số liên tục trên đoạn $\displaystyle [1; 2]$ . Ta có
$\displaystyle f'(x) = 4x^3 - 4x > 0, \forall x \in (1; 2)$ ,
suy ra hàm số $\displaystyle f(x)$ đồng biến trên đoạn $\displaystyle [1; 2]$ . Do đó
$\displaystyle \max\limits_{[1; 2]} f(x) = m + 8, \quad \min\limits_{[1; 2]} f(x) = m - 1$ . Suy ra $\displaystyle q < p < 19, \forall m \in [-10; 10]$ .
Từ đó suy ra yêu cầu bài toán $\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} p + q > 19 \\ p, q > 0. \end{cases}$
TH1. $\displaystyle m - 1 > 0 \Rightarrow 1 < m \le 10$ thì $\displaystyle p = m + 8, q = m - 1$ .
Yêu cầu bài toán $\displaystyle \Leftrightarrow p + q > 19 \Leftrightarrow m + 8 + m - 1 > 19 \Leftrightarrow m > 6 \Rightarrow m \in \{7; 8; 9; 10\}$ .
Trường hợp này có 4 số nguyên.
TH2. $\displaystyle m + 8 < 0 \Rightarrow -10 \le m < -8$ thì $\displaystyle p = -m + 1, q = -m - 8$ .
Yêu cầu bài toán $\displaystyle \Leftrightarrow p + q > 19 \Leftrightarrow -m + 1 - m - 8 > 19 \Rightarrow m < -13$ .
Suy ra trường hợp này không tồn tại $\displaystyle m \in [-10; 10]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH3. $\displaystyle -8 \le m \le 1$ thì $\displaystyle q = 0$ . Suy ra không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy số phần tử của tập $\displaystyle S$ là 4.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi