Đăng nhập Đăng ký

ID: 17062

Vận dụng cao (M4)
Cho hàm số $\displaystyle f(x) = x^3 - x^2 + x - m - 2$ với $\displaystyle m$ là tham số. Gọi $\displaystyle S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $\displaystyle m$ sao cho $\displaystyle \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| + \min\limits_{[0; 3]} |f(x)| = 16$ . Tổng các phần tử của $\displaystyle S$ là

Giải thích đáp án:
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = x^3 - x^2 + x - m - 2$ trên đoạn $\displaystyle [0; 3]$ . Ta có
$\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(0) = -m - 2, f(3) = -m + 9$ .
TH1. $\displaystyle (m + 2)(m - 19) \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 19$ . Khi đó suy ra
$\displaystyle \begin{cases} \min\limits_{[0; 3]} |f(x)| = 0 \\ \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| = \max \{|m + 2|, |m - 19|\} \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| = m + 2, \text{ khi } \frac{17}{2} \le m \le 19 \\ \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| = 19 - m, \text{ khi } -2 \le m < \frac{17}{2} \end{array} \right.$
Vậy $\displaystyle \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| + \min\limits_{[0; 3]} |f(x)| = 16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 2 = 16, \text{ khi } \frac{17}{2} \le m \le 19 \\ 19 - m = 16, \text{ khi } -2 \le m < \frac{17}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 14 \\ m = 3. \end{array} \right.$
TH2. $\displaystyle (m + 2)(m - 19) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 19 \\ m < -2 \end{array} \right.$ . Khi đó
$\displaystyle \min\limits_{[0; 3]} |f(x)| + \max\limits_{[0; 3]} |f(x)| = |m + 2| + |m - 19| = |2m - 17| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \quad \text{(không thỏa mãn)} \\ m = \frac{33}{2} \quad \text{(không thỏa mãn)}. \end{array} \right.$
Vậy $\displaystyle S = \{3; 14\}$ . (Tổng các phần tử của $\displaystyle S$ là $\displaystyle 3 + 14 = 17$ ).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi