Đăng nhập Đăng ký

ID: 18002

Nhận biết (M1)
I. Tổng quan lý thuyết
1. Tập hợp
Các cách biểu diễn tập hợp:
- $\displaystyle \mathrm{D}=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$ (liệt kê)
- $\displaystyle \mathrm{D}=\{2 n \mid n \in \mathbb{Z}\}$
- $\displaystyle \mathrm{D}=[-2 ; 2]$
- Sơ đồ Ven
Cái khái niệm cơ bản
- Tập rỗng: không chứa phần tử nào
- Tập con: $\displaystyle A$ là tập con của $\displaystyle B$ $\displaystyle \Leftrightarrow x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \in \mathrm{B}$
Ký hiệu: $\displaystyle A \subset B, B \supset A \ (B$ chứa $\displaystyle A)$
- Tập bằng nhau: $\displaystyle A=B \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge(B \subset A)$
2. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép giao:
$\displaystyle A \cap B=\{x \mid x \in A \text { và } x \in B\}$
b. Phép hợp:
$\displaystyle A \cup B=\{x \mid x \in A \text { hoặc } x \in B\}$
c. Phép lấy hiệu:
$\displaystyle A \backslash B=\{x \mid x \in A \text { và } x \notin B\}$
d. Hiệu đối xứng:
$\displaystyle A \Delta B=\{x \mid x \in(A \backslash B) \text { hoặc } x \in(B \backslash A)\}$
e. Phần bù (trong tập vũ trụ $\displaystyle X$ )
$\displaystyle C_{X}A=\overline{A}=X \backslash A$
3. Tính chất
a. Giao hoán:
$\displaystyle \begin{aligned} & A \cap B=B \cap A \\ & A \cup B=B \cup A \\ & A \Delta B=B \Delta A \end{aligned}$
b. Kết hợp:
$\displaystyle \begin{aligned} & (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C) \\ & (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C) \\ & (A \Delta B) \Delta C=A \Delta(B \Delta C) \end{aligned}$
c. Phân phối:
$\displaystyle \begin{aligned} & A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \\ & A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \end{aligned}$
d. Tính chất của hiệu:
$\displaystyle A \backslash B=A \cap \overline{B}$
e. De Morgan:
$\displaystyle \begin{aligned} & \overline{\mathrm{A} \cap \mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}} \cup \overline{\mathrm{B}} \\ & \overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}} \end{aligned}$
4. Phương pháp chứng minh
Cách 1: Phương pháp phần tử.
Cách 2: Phương pháp biến đổi tập hợp.
Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng.
5. Tích Đề Các của tập hợp
Định nghĩa: Tích đề các của $\displaystyle n$ tập hợp
$\displaystyle \mathrm{A}_1 \times \mathrm{A}_2 \times \ldots . . \times \mathrm{A}_n=\left\{\left(a_1, a_2, \ldots . ., a_n\right) \mid a_i \in \mathrm{A}_i ; i=\overline{1, n}\right\}$
Nếu $\displaystyle A_1=A_2=\ldots . .=A_n=A$ thì tích đề các trên có thể viết gọn: $\displaystyle \mathrm{A}^n$
II. Các ví dụ minh họa
VD1: Cho $\displaystyle A, B, C$ là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng: $\displaystyle (A \backslash B) \backslash C = A \backslash (B \cup C)$
Lời giải
Cách 1: Phương pháp phần tử
Giả sử $\displaystyle x \in (A \backslash B) \backslash C$
$\displaystyle \Leftrightarrow [x \in (A \backslash B)] \wedge [x \notin C]$
$\displaystyle \Leftrightarrow [(x \in A) \wedge (x \notin B)] \wedge [x \notin C]$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x \in A) \wedge [(x \notin B) \wedge (x \notin C)]$
$\displaystyle \Leftrightarrow (x \in A) \wedge (x \notin B \cup C)$
$\displaystyle \Leftrightarrow x \in A \backslash (B \cup C)$
$\displaystyle \Rightarrow (A \backslash B) \backslash C = A \backslash (B \cup C)$
Cách 2: Biến đổi tập hợp
Cần giả sử có tập vũ trụ $\displaystyle X$ ( $\displaystyle A \subset X, B \subset X, C \subset X$ )
Ta có: $\displaystyle (A \backslash B) \backslash C$
$\displaystyle = (A \backslash B) \cap \overline{C}$
$\displaystyle = (A \cap \overline{B}) \cap \overline{C}$
$\displaystyle = A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})$
$\displaystyle = A \cap \overline{B \cup C}$
$\displaystyle = A \backslash (B \cup C)$
Vậy $\displaystyle (A \backslash B) \backslash C = A \backslash (B \cup C)$
VD2: Cho $\displaystyle A, B, C$ là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng: $\displaystyle A \backslash (B \backslash C) = (A \backslash B) \cup (A \cap C)$
Lời giải
Giả sử có một tập vũ trụ $\displaystyle X$ .
Ta có: $\displaystyle A \backslash (B \backslash C)$
$\displaystyle = A \backslash (B \cap \overline{C})$
$\displaystyle = A \cap \overline{B \cap \overline{C}}$
$\displaystyle = A \cap (\overline{B} \cup C)$
$\displaystyle = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap C)$
$\displaystyle = (A \backslash B) \cup (A \cap C)$
Vậy $\displaystyle A \backslash (B \backslash C) = (A \backslash B) \cup (A \cap C)$
VD3: Cho các tập hợp $\displaystyle A, B, C$ thỏa mãn $\displaystyle (A \cup B) \subset (A \cup C)$ và $\displaystyle (A \cap B) \subset (A \cap C)$ . Chứng minh $\displaystyle B \subset C$ .
Lời giải
Giả sử $\displaystyle B \not \subset C \Rightarrow \exists x: x \in B \rightarrow x \notin C$
Có hai trường hợp có thể xảy ra
TH1: $\displaystyle x \notin A \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \notin A \\ x \in B \\ x \notin C \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A \cup B \\ x \notin A \cup C \end{array} \right. \right.$
$\displaystyle \Rightarrow (A \cup B) \not\subset (A \cup C)$ (vô lí)
TH2: $\displaystyle x \in A \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A \\ x \in B \\ x \notin C \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A \cap B \\ x \notin A \cap C \end{array} \right. \right.$
$\displaystyle \Rightarrow (A \cap B) \not\subset (A \cap C)$ (vô lí)
Từ đó suy ra điều giả sử là sai $\displaystyle \Rightarrow B \subset C$
Vậy $\displaystyle B \subset C$
VD4: Cho $\displaystyle A=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=0\} ;B=\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}$ . Ở đó $\displaystyle f(x), g(x)$ là các hàm số xác định trên $\displaystyle \mathbb{R}$ . Biểu diễn qua $\displaystyle A, B$ tập nghiệm của phương trình:
$\displaystyle \frac{f(x) g(x)}{|f(x)|+|g(x)|}=0\left(^{}\right)$
Lời giải
Ta có:
$\displaystyle () \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x)=0 \\ g(x) \neq 0 \\ f(x) \neq 0 \\ g(x)=0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A \backslash B \\ B \backslash A\end{array} \Leftrightarrow A \Delta B\right.\right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\displaystyle A \Delta B$ .
III. Bài tập

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi