Đăng nhập Đăng ký

ID: 18003

Nhận biết (M1)
I. Tổng quan lý thuyết
1. Dãy số
Định nghĩa：Dãy số là một hàm số $\displaystyle \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle n \rightarrow a_{n}$
Ký hiệu: $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$
Dãy số đơn điệu: Cho dãy số $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$
- Dãy số đã cho được gọi là đơn điệu tăng khi $\displaystyle a_{n}<a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$
- Dãy số đã cho được gọi là đơn điệu giảm khi $\displaystyle a_{n} > a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$
Dãy số bị chặn: Cho dãy số $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$
- Dãy số đã cho được gọi là bị chặn trên khi $\displaystyle a_{n} \le M, \forall n \in \mathbb{N}$
- Dãy số đã cho được gọi là bị chặn dưới khi $\displaystyle a_{n} \ge K, \forall n \in \mathbb{N}$
Nếu dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, ta nói dãy bị chặn hay giới nội
2. Giới hạn dãy số
Định nghĩa: Dãy $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ được gọi là có giới hạn là $\displaystyle L$ nếu
$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon): n \geqslant N \Rightarrow\left|a_{n}-L\right| \leqslant \varepsilon$
Ký hiệu: $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L$
Giới hạn vô cùng：Một dãy số được gọi là có giới hạn vô cùng nếu
$\displaystyle \forall M>0, \exists N=N(M): n \geqslant N \Rightarrow a_{n} \geqslant M$
Ký hiệu: $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=+\infty$
Tính chất:
- Giới hạn của một dãy số, nếu có, là duy nhất
- Khoảng lân cận giới hạn： $\displaystyle (L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ , ký hiệu $\displaystyle \mathrm{U}_{\varepsilon}(L)$
3. Sự hội tụ và phân kỳ của dãy số
Hội tụ: Dãy số $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ được gọi là hội tụ nếu dãy số đó tồn tại giới hạn hữu hạn, tức
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L$
Phân kỳ: Dãy số $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ được gọi là phân kỳ nếu dãy số đó tồn tại giới hạn là vô cùng hoặc không tồn tại giới hạn, tức
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\infty \ \text{hay} \ \not\exists \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$
4．Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
a. Tiêu chuẩn của dãy số đơn điệu: Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên hay giảm và bị chặn dưới thì dãy số đó tồn tại giới hạn
b. Tiêu chuẩn kẹp
Cho các dãy số thực $\displaystyle a_{n}, b_{n}, c_{n}$
$\displaystyle \begin{aligned} \text {- } \ a_{n} \leqslant b_{n} & \leqslant c_{n} \forall n \in \mathbb{N} \\ \text {-} \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} & =\lim _{n \rightarrow+\infty} c_{n}=L \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n} & =L \end{aligned}$
c. Tiêu chuẩn Cauchy
Dãy $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ hội tụ khi và chỉ khi
$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon): \forall m, n>N \Rightarrow\left|a_{n}-a_{n}\right|<\varepsilon$
Khi đó dãy số đã cho được gọi là dãy Cauchy
5. Phương pháp xác định giới hạn dãy số
Cách 1: Sử dụng các biến đổi cơ bản
Cách 2: Sử dụng các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
Cách 3: Xét hàm số $\displaystyle f(x)$ thỏa mãn $\displaystyle f(n)= \left\{a_{n}\right\}, \forall n \in \mathbb{N}$ . Từ đó tìm giới hạn hàm $\displaystyle f(x)$ rồi suy ra giới hạn của dãy số đã cho

Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi