Đăng nhập Đăng ký

ID: 18004

Nhận biết (M1)
I. Tổng quan lý thuyết
1. Giới hạn một phía
Giới hạn một phía:
- Giới hạn trái: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$
- Giới hạn phải: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$
Mối quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn:
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=a$
2. Hàm số liên tục
Định nghĩa:
- Hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục tại $\displaystyle x_0 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=f\left(x_0\right)$ .
- Hàm số $\displaystyle f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\displaystyle (a, b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm $\displaystyle x_0 \in(a, b)$ . Nó được gọi là liên tục trên đoạn $\displaystyle [a, b]$ nếu nó liên tục trên $\displaystyle (a, b)$ đồng thời liên tục phải tại $\displaystyle a$ và liên tục trái tại $\displaystyle b$ .
Định lí Cauchy: Nếu $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle [a, b]$ và $\displaystyle f(a)$ . $\displaystyle f(b)<0$ thì $\displaystyle \exists c \in(a, b): f(c)=0$ .
3. Hàm số liên tục đều
Định nghĩa: $\displaystyle f(x)$ liên tục đều trên $\displaystyle X$ khi và chỉ khi
$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0:\left|x_1-x_2\right|<\delta(\varepsilon) \Rightarrow \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon$
Tính chất:
- $\displaystyle f$ liên tục trên $\displaystyle [a, b] \Rightarrow f$ liên tục đều trên $\displaystyle [a, b]$
- $\displaystyle \forall\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ trong $\displaystyle (a, b)$
$\displaystyle +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-y_n\right)=0, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_n\right)-f\left(y_n\right)\right)=0$
$\displaystyle \Rightarrow f$ liên tục đều trên $\displaystyle (a, b)$
$\displaystyle +\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-y_n\right)=0, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_n\right)-f\left(y_n\right)\right) \neq 0$
$\displaystyle \Rightarrow f$ không liên tục đều trên $\displaystyle (a, b)$
- Nếu đạo hàm của hàm số bị chặn trên $\displaystyle (a, b)$ thì hàm số liên tục đều trên khoảng đang xét.
4. Điểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa: Nếu hàm số $\displaystyle f(x)$ không liên tục tại $\displaystyle x_0$ thì ta nói nó gián đoạn tại $\displaystyle x_0$ .
Phân loại:
- ĐGĐ loại 1: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$ và $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ tồn tại hữu hạn
TH1: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ thì $\displaystyle |\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)-\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)|$ gọi là bước nhảy của hàm số
TH2: $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x), \nexists f\left(x_0\right)$ thì $\displaystyle x_0$ được gọi là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số
+ ĐGĐ loại 2: là những điểm không phải ĐGĐ loại 1 , tức là không tồn tại giới hạn trái hoặc phải hay giới hạn đó bằng vô cùng.
II. Các ví dụ minh họa
VD1: Tìm $\displaystyle m$ để hàm số sau liên tục tại $\displaystyle x=1$ :
Đáp án đúng:

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi