Đăng nhập Đăng ký

ID: 18234

Nhận biết (M1)
Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $\displaystyle AB=a,BC=2a$ , $\displaystyle SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $\displaystyle SA=a$ .

Phát biểu Đúng Sai
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $\displaystyle AC$ và $\displaystyle SB$ bằng $\displaystyle \frac{2a}{3}$ .
Thể tích khối chóp $\displaystyle S.ABD$ bằng $\displaystyle 2a^{3}$ .
$\displaystyle BC⊥\left ( { SAB } \right )$ .
sin góc giữa đường thẳng $\displaystyle SC$ và mặt phẳng $\displaystyle \left ( { ABCD } \right )$ bằng $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}$ .
Giải thích đáp án:
a) Sai | b) Sai| c) Đúng | d) Sai
a)
Vẽ hình bình hành $\displaystyle ACBE$ , ta có: $\displaystyle AC\,\text{/}\text{/}\,BE$ .
Mà $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BE⊂\left ( { SBE } \right ) \\ AC⊄\left ( { SBE } \right ) \end{array} \end{array} \right .$
Suy ra $\displaystyle AC\,\text{/}\text{/}\,\left ( { SBE } \right )⇒d\left ( { AC,SB } \right )=d\left ( { AC,\left ( { SBE } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SBE } \right ) } \right )$ .
Gọi $\displaystyle K$ là hình chiếu của $\displaystyle A$ trên $\displaystyle BE$ , ta có: $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BE⊥SA \\ BE⊥AK \end{array} \end{array} \right .⇒BE⊥\left ( { SAK } \right )$ .
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu của $\displaystyle A$ trên $\displaystyle SK$ , ta có: $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AH⊥SK \\ AH⊥BE \end{array} \end{array} \right .⇒AH⊥\left ( { SBE } \right )$ .
Do đó $\displaystyle d\left ( { A,\left ( { SBE } \right ) } \right )=AH$ .
Ta có: $\displaystyle \frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AS^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}+\frac{1}{AS^{2}}$
$\displaystyle ⇔\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{\left ( { 2a } \right )^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{9}{4a^{2}}⇔AH=\frac{2a}{3}$ .
b) Ta có: $\displaystyle V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}AB.BC.SA=\frac{1}{3}a.2a.a=\frac{2a^{3}}{3}$ .
$\displaystyle ⇒V_{S.ABD}=\frac{1}{2}V_{S.ABCD}=\frac{1}{2}.\frac{2a^{3}}{3}=\frac{a^{3}}{3}$ .
c) Ta có: $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥SA \\ BC⊥AB \end{array} \end{array} \right .⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )$ .
d) Vì $\displaystyle SA⊥\left ( { ABCD } \right )$ nên $\displaystyle \left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\widehat{SCA}$ .
Xét trong tam giác vuông $\displaystyle SAC$ có:
$\displaystyle SA=a,\ AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left ( { 2a } \right )^{2}}=a\sqrt{5}$ , $\displaystyle SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left ( { a\sqrt{5} } \right )^{2}}=a\sqrt{6}$ .
Khi đó $\displaystyle sin\left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=sin\widehat{SCA}=\frac{SA}{SC}=\frac{a}{a\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi